Номер 12, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Метод координат

1. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 5. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что $XB^2 - XA^2 = 7$.

2. Катеты $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ равны 24 см и 32 см соответственно. На медиане $CM$ отметили точку $D$ так, что $CD : DM = 1 : 3$. Найдите расстояние от точки $D$ до середины катета $BC$.

3. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 3 см. Найдите геометрическое место точек $C$ таких, что медиана $BM$ треугольника $ABC$ равна 5 см.

1.

Введем декартову систему координат. Для удобства расположим точки $A$ и $B$ на оси абсцисс ($Ox$). Поскольку расстояние $AB$ равно 5, пусть координаты точек будут $A(0, 0)$ и $B(5, 0)$.

Пусть $X(x, y)$ — произвольная точка искомого геометрического места.

Найдем квадраты расстояний от точки $X$ до точек $A$ и $B$:
$XA^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
$XB^2 = (x - 5)^2 + (y - 0)^2 = (x - 5)^2 + y^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2$

Согласно условию задачи, $XB^2 - XA^2 = 7$. Подставим найденные выражения в это равенство:
$(x^2 - 10x + 25 + y^2) - (x^2 + y^2) = 7$

Теперь упростим полученное уравнение:
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - x^2 - y^2 = 7$
$-10x + 25 = 7$
$-10x = 7 - 25$
$-10x = -18$
$x = \frac{-18}{-10} = 1.8$

Уравнение $x = 1.8$ определяет прямую, параллельную оси ординат ($Oy$). Так как отрезок $AB$ лежит на оси $Ox$, эта прямая перпендикулярна прямой, содержащей отрезок $AB$.

Ответ: Геометрическое место точек $X$ — это прямая, перпендикулярная отрезку $AB$.

2.

Введем систему координат с началом в точке $C$ — вершине прямого угла. Направим ось $Ox$ вдоль катета $BC$, а ось $Oy$ — вдоль катета $AC$.

В этой системе координат вершины треугольника $ABC$ имеют следующие координаты:
$C(0, 0)$
$A(0, 24)$ (поскольку $AC = 24$ см)
$B(32, 0)$ (поскольку $BC = 32$ см)

$CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе $AB$. Точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Найдем ее координаты:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + 32}{2} = 16$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{24 + 0}{2} = 12$
Следовательно, $M(16, 12)$.

Точка $D$ делит медиану $CM$ в отношении $CD : DM = 1 : 3$. Найдем координаты точки $D$ по формуле деления отрезка в данном отношении. Так как $C$ — начало координат, то $D = \frac{1}{1+3} M = \frac{1}{4}M$:
$x_D = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$
$y_D = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$
Координаты точки $D$ — $(4, 3)$.

Найдем координаты середины катета $BC$. Обозначим эту точку $K$.
$x_K = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{32 + 0}{2} = 16$
$y_K = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0$
Координаты точки $K$ — $(16, 0)$.

Искомое расстояние — это длина отрезка $DK$. Вычислим ее по формуле расстояния между двумя точками $D(4, 3)$ и $K(16, 0)$:
$DK = \sqrt{(x_K - x_D)^2 + (y_K - y_D)^2} = \sqrt{(16 - 4)^2 + (0 - 3)^2}$
$DK = \sqrt{12^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153}$

Упростим корень: $\sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$.

Ответ: $3\sqrt{17}$ см.

3.

Введем систему координат. Расположим точки $A$ и $B$ на оси $Ox$. Пусть $A$ имеет координаты $(0, 0)$, а $B$ — $(3, 0)$. Тогда расстояние $AB$ равно 3.

Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x, y)$.

По определению, медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой $M$ противоположной стороны $AC$. Найдем координаты точки $M$:
$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$
Таким образом, $M(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$.

По условию задачи, длина медианы $BM$ равна 5. Используем формулу расстояния между точками $B(3, 0)$ и $M(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$:
$BM^2 = (x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2 = 5^2$
$(\frac{x}{2} - 3)^2 + (\frac{y}{2} - 0)^2 = 25$

Преобразуем полученное уравнение:
$(\frac{x - 6}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2 = 25$
$\frac{(x - 6)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 25$
$(x - 6)^2 + y^2 = 100$
$(x - 6)^2 + y^2 = 10^2$

Это каноническое уравнение окружности. Центр окружности находится в точке $O(6, 0)$, а ее радиус $R = 10$.

Опишем геометрическое положение центра $O(6, 0)$ относительно точек $A(0, 0)$ и $B(3, 0)$. Все три точки лежат на оси $Ox$. Расстояние $AB = 3$, расстояние $BO = 6 - 3 = 3$. Следовательно, точка $B$ является серединой отрезка $AO$.

Ответ: Окружность с радиусом 10 см. Центр этой окружности — точка $O$, которая лежит на прямой $AB$ так, что точка $B$ является серединой отрезка $AO$.