Номер 15, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Сложение и вычитание векторов

1. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD};$

2) $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA};$

3) $\vec{CD} - \vec{AD} - \vec{BA} + \vec{BC}.$

2. Даны точки M (-4; 5) и N (6; -7). Найдите координаты точки K такой, что $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}.$

3. Найдите геометрическое место точек X таких, что $|\vec{AX} + \vec{BX}| = 12$, если $|\vec{AB}| = 4.$

Поскольку по условию четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, для него верны следующие векторные равенства: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$. Также будем использовать правило замены вычитания векторов сложением: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$, где $-\vec{XY} = \vec{YX}$, и правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

1) Преобразуем выражение $\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD}$.

Заменим вычитание на сложение с противоположными векторами: $\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC}$.

Теперь последовательно сложим векторы по правилу треугольника (или правилу замыкания ломаной): $(\vec{AB} + \vec{BD}) + \vec{DC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.

Ответ: $\vec{AC}$.

2) Преобразуем выражение $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA}$.

Заменим вычитание $\vec{CB}$ на сложение с $\vec{BC}$: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}$.

Сложим векторы по правилу замыкания ломаной: $(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA}$.

Сумма двух противоположных векторов ($\vec{AC}$ и $\vec{CA}$) равна нулевому вектору: $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$.

3) Преобразуем выражение $\vec{CD} - \vec{AD} - \vec{BA} + \vec{BC}$.

Заменим вычитание на сложение с противоположными векторами: $\vec{CD} + \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BC}$.

Сгруппируем и сложим векторы по правилу треугольника: $(\vec{CD} + \vec{DA}) + (\vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{CA} + \vec{AC}$.

Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору: $\vec{CA} + \vec{AC} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$.

2. Даны точки $M(-4; 5)$ и $N(6; -7)$. Необходимо найти координаты точки $K(x_K; y_K)$ из условия $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}$.

Из векторного уравнения следует, что $\vec{MK} = \vec{KN}$.

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Найдём координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{KN}$:

$\vec{MK} = \{x_K - x_M; y_K - y_M\} = \{x_K - (-4); y_K - 5\} = \{x_K + 4; y_K - 5\}$

$\vec{KN} = \{x_N - x_K; y_N - y_K\} = \{6 - x_K; -7 - y_K\}$

Поскольку векторы равны, их соответствующие координаты также равны. Составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x_K + 4 = 6 - x_K \\ y_K - 5 = -7 - y_K \end{cases} $

Из первого уравнения: $2x_K = 6 - 4 \implies 2x_K = 2 \implies x_K = 1$.

Из второго уравнения: $2y_K = -7 + 5 \implies 2y_K = -2 \implies y_K = -1$.

Таким образом, точка $K$ имеет координаты $(1; -1)$. Заметим, что точка $K$ является серединой отрезка $MN$.

Ответ: $K(1; -1)$.

3. Нам нужно найти геометрическое место точек $X$, для которых выполняется условие $|\vec{AX} + \vec{BX}| = 12$, при $|\vec{AB}| = 4$.

Пусть $C$ — середина отрезка $AB$. Тогда для любой точки $X$ можно выразить векторы $\vec{AX}$ и $\vec{BX}$ через вектор $\vec{CX}$ по правилу треугольника:

$\vec{AX} = \vec{AC} + \vec{CX}$

$\vec{BX} = \vec{BC} + \vec{CX}$

Сложим эти два равенства:

$\vec{AX} + \vec{BX} = (\vec{AC} + \vec{CX}) + (\vec{BC} + \vec{CX}) = (\vec{AC} + \vec{BC}) + 2\vec{CX}$

Поскольку $C$ — середина отрезка $AB$, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ равны по длине и противоположны по направлению, то есть $\vec{AC} + \vec{BC} = \vec{0}$.

Таким образом, сумма векторов упрощается до $\vec{AX} + \vec{BX} = 2\vec{CX}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $|2\vec{CX}| = 12$.

Используя свойство модуля (длины) вектора $|k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$, получим: $2 \cdot |\vec{CX}| = 12$, откуда $|\vec{CX}| = 6$.

Это уравнение означает, что расстояние от точки $X$ до фиксированной точки $C$ (середины отрезка $AB$) всегда равно 6. Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, есть окружность.

Следовательно, искомое геометрическое место точек $X$ — это окружность с центром в точке $C$, являющейся серединой отрезка $AB$, и радиусом $R=6$.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом 6.