Страница 19 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Координаты вектора

1. Точка K $(-8; 3)$ — конец вектора $\vec{a}$ $(6; -9)$. Найдите координаты начала вектора $\vec{a}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: A $(4; -5)$, B $(2; 3)$, D $(-3; -4)$. Используя векторы, найдите координаты вершины C.

3. Точки A $(3; -3)$ и B $(3; 12)$ — вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора $\vec{AC}$ равен 17. Найдите координаты вершин B и C.

1. Пусть начало вектора $\vec{a}$ — точка $M(x_m; y_m)$, а конец — точка $K(-8; 3)$. Координаты вектора, соединяющего две точки, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора: $\vec{a} = \{x_k - x_m; y_k - y_m\}$.
Нам даны координаты вектора $\vec{a}(6; -9)$ и координаты его конечной точки $K(-8; 3)$. Подставим известные значения в формулу:
$6 = -8 - x_m$
$-9 = 3 - y_m$
Теперь решим эти два уравнения, чтобы найти координаты начала вектора $M(x_m; y_m)$.
Из первого уравнения: $x_m = -8 - 6 = -14$.
Из второго уравнения: $y_m = 3 - (-9) = 3 + 9 = 12$.
Таким образом, координаты начала вектора $\vec{a}$ — это точка $M(-14; 12)$.
Ответ: $(-14; 12)$.

2. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, что означает равенство векторов, представляющих эти стороны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Даны координаты вершин: $A(4; -5)$, $B(2; 3)$, $D(-3; -4)$. Обозначим искомую вершину как $C(x; y)$.
Сначала найдем координаты вектора $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = \{x_d - x_a; y_d - y_a\} = \{-3 - 4; -4 - (-5)\} = \{-7; 1\}$.
Теперь выразим координаты вектора $\vec{BC}$ через неизвестные координаты точки $C(x; y)$:
$\vec{BC} = \{x_c - x_b; y_c - y_b\} = \{x - 2; y - 3\}$.
Поскольку $\vec{AD} = \vec{BC}$, их соответствующие координаты должны быть равны. Приравняем их:
$x - 2 = -7$
$y - 3 = 1$
Решим уравнения:
$x = -7 + 2 = -5$
$y = 1 + 3 = 4$
Следовательно, координаты вершины $C$ равны $(-5; 4)$.
Ответ: $C(-5; 4)$.

3. Даны координаты двух вершин прямоугольника: $A(3; -3)$ и $B(3; 12)$. Так как у этих точек одинаковая координата $x=3$, то сторона $AB$ является вертикальным отрезком, параллельным оси $Oy$.
В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Значит, сторона $BC$ должна быть перпендикулярна стороне $AB$, то есть должна быть горизонтальным отрезком, параллельным оси $Ox$. Это означает, что у точек $B$ и $C$ одинаковая координата $y$.
Пусть координаты вершины $C$ равны $(x; y)$. Поскольку $y_c = y_b$, то $y=12$. Таким образом, $C(x; 12)$.
По условию, модуль (длина) вектора $\vec{AC}$ равен 17. Найдем координаты этого вектора:
$\vec{AC} = \{x_c - x_a; y_c - y_a\} = \{x - 3; 12 - (-3)\} = \{x - 3; 15\}$.
Модуль вектора вычисляется по формуле $|\vec{AC}| = \sqrt{(x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2}$. Составим уравнение:
$|\vec{AC}| = \sqrt{(x - 3)^2 + 15^2} = 17$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(x - 3)^2 + 15^2 = 17^2$
$(x - 3)^2 + 225 = 289$
$(x - 3)^2 = 289 - 225$
$(x - 3)^2 = 64$
Из этого уравнения получаем два возможных решения для $x-3$:
1) $x - 3 = 8 \implies x = 11$
2) $x - 3 = -8 \implies x = -5$
Таким образом, для вершины $C$ есть два возможных варианта координат: $(11; 12)$ или $(-5; 12)$.
В задаче требуется найти координаты вершин $B$ и $C$. Координаты вершины $B$ даны в условии: $B(3; 12)$.
Ответ: $B(3; 12)$ и $C(11; 12)$ или $B(3; 12)$ и $C(-5; 12)$.

Самостоятельная работа № 15

Сложение и вычитание векторов

1. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD};$

2) $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA};$

3) $\vec{CD} - \vec{AD} - \vec{BA} + \vec{BC}.$

2. Даны точки M (-4; 5) и N (6; -7). Найдите координаты точки K такой, что $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}.$

3. Найдите геометрическое место точек X таких, что $|\vec{AX} + \vec{BX}| = 12$, если $|\vec{AB}| = 4.$

Поскольку по условию четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, для него верны следующие векторные равенства: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$. Также будем использовать правило замены вычитания векторов сложением: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$, где $-\vec{XY} = \vec{YX}$, и правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

1) Преобразуем выражение $\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD}$.

Заменим вычитание на сложение с противоположными векторами: $\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC}$.

Теперь последовательно сложим векторы по правилу треугольника (или правилу замыкания ломаной): $(\vec{AB} + \vec{BD}) + \vec{DC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.

Ответ: $\vec{AC}$.

2) Преобразуем выражение $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA}$.

Заменим вычитание $\vec{CB}$ на сложение с $\vec{BC}$: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}$.

Сложим векторы по правилу замыкания ломаной: $(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA}$.

Сумма двух противоположных векторов ($\vec{AC}$ и $\vec{CA}$) равна нулевому вектору: $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$.

3) Преобразуем выражение $\vec{CD} - \vec{AD} - \vec{BA} + \vec{BC}$.

Заменим вычитание на сложение с противоположными векторами: $\vec{CD} + \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BC}$.

Сгруппируем и сложим векторы по правилу треугольника: $(\vec{CD} + \vec{DA}) + (\vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{CA} + \vec{AC}$.

Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору: $\vec{CA} + \vec{AC} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$.

2. Даны точки $M(-4; 5)$ и $N(6; -7)$. Необходимо найти координаты точки $K(x_K; y_K)$ из условия $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}$.

Из векторного уравнения следует, что $\vec{MK} = \vec{KN}$.

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Найдём координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{KN}$:

$\vec{MK} = \{x_K - x_M; y_K - y_M\} = \{x_K - (-4); y_K - 5\} = \{x_K + 4; y_K - 5\}$

$\vec{KN} = \{x_N - x_K; y_N - y_K\} = \{6 - x_K; -7 - y_K\}$

Поскольку векторы равны, их соответствующие координаты также равны. Составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x_K + 4 = 6 - x_K \\ y_K - 5 = -7 - y_K \end{cases} $

Из первого уравнения: $2x_K = 6 - 4 \implies 2x_K = 2 \implies x_K = 1$.

Из второго уравнения: $2y_K = -7 + 5 \implies 2y_K = -2 \implies y_K = -1$.

Таким образом, точка $K$ имеет координаты $(1; -1)$. Заметим, что точка $K$ является серединой отрезка $MN$.

Ответ: $K(1; -1)$.

3. Нам нужно найти геометрическое место точек $X$, для которых выполняется условие $|\vec{AX} + \vec{BX}| = 12$, при $|\vec{AB}| = 4$.

Пусть $C$ — середина отрезка $AB$. Тогда для любой точки $X$ можно выразить векторы $\vec{AX}$ и $\vec{BX}$ через вектор $\vec{CX}$ по правилу треугольника:

$\vec{AX} = \vec{AC} + \vec{CX}$

$\vec{BX} = \vec{BC} + \vec{CX}$

Сложим эти два равенства:

$\vec{AX} + \vec{BX} = (\vec{AC} + \vec{CX}) + (\vec{BC} + \vec{CX}) = (\vec{AC} + \vec{BC}) + 2\vec{CX}$

Поскольку $C$ — середина отрезка $AB$, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ равны по длине и противоположны по направлению, то есть $\vec{AC} + \vec{BC} = \vec{0}$.

Таким образом, сумма векторов упрощается до $\vec{AX} + \vec{BX} = 2\vec{CX}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $|2\vec{CX}| = 12$.

Используя свойство модуля (длины) вектора $|k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$, получим: $2 \cdot |\vec{CX}| = 12$, откуда $|\vec{CX}| = 6$.

Это уравнение означает, что расстояние от точки $X$ до фиксированной точки $C$ (середины отрезка $AB$) всегда равно 6. Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, есть окружность.

Следовательно, искомое геометрическое место точек $X$ — это окружность с центром в точке $C$, являющейся серединой отрезка $AB$, и радиусом $R=6$.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом 6.

Самостоятельная работа № 16

Умножение вектора на число.

Применение векторов к решению задач

1. Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(-3; 6)$. Найдите координаты вектора:

1) $3\vec{a} + \vec{b}$

2) $3\vec{b} - 5\vec{a}$

2. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $E$ и $F$ соответственно так, что $AE = \frac{5}{6}AB$, $BF = \frac{2}{3}BC$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.

3. На стороне $CD$ и диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ так, что $DE : EC = 1 : 6$, $DF : FB = 1 : 7$. Используя векторы, докажите, что точки $A, F$ и $E$ лежат на одной прямой.

1) $3\vec{a} + \vec{b}$

Для нахождения координат вектора $3\vec{a} + \vec{b}$, сначала умножим вектор $\vec{a}(4; -7)$ на число 3. Умножение вектора на число производится покоординатно:

$3\vec{a} = 3 \cdot (4; -7) = (3 \cdot 4; 3 \cdot (-7)) = (12; -21)$

Теперь сложим полученный вектор с вектором $\vec{b}(-3; 6)$. Сложение векторов также производится покоординатно:

$3\vec{a} + \vec{b} = (12; -21) + (-3; 6) = (12 + (-3); -21 + 6) = (9; -15)$

Ответ: $(9; -15)$

2) $3\vec{b} - 5\vec{a}$

Для нахождения координат вектора $3\vec{b} - 5\vec{a}$, сначала найдем координаты векторов $3\vec{b}$ и $5\vec{a}$:

$3\vec{b} = 3 \cdot (-3; 6) = (3 \cdot (-3); 3 \cdot 6) = (-9; 18)$

$5\vec{a} = 5 \cdot (4; -7) = (5 \cdot 4; 5 \cdot (-7)) = (20; -35)$

Теперь выполним вычитание векторов, вычитая соответствующие координаты:

$3\vec{b} - 5\vec{a} = (-9; 18) - (20; -35) = (-9 - 20; 18 - (-35)) = (-29; 18 + 35) = (-29; 53)$

Ответ: $(-29; 53)$

2.

Чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через заданные векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$, представим $\vec{EF}$ в виде суммы векторов по правилу треугольника: $\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF}$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. В нем противоположные стороны параллельны и равны, поэтому справедливы следующие векторные равенства:

$\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$

$\vec{BC} = \vec{AD}$. Так как по условию $\vec{DA} = \vec{a}$, то $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$. Следовательно, $\vec{BC} = -\vec{a}$.

Теперь найдем векторы $\vec{EB}$ и $\vec{BF}$.

Точка E лежит на стороне AB, и по условию $AE = \frac{5}{6}AB$, что в векторном виде записывается как $\vec{AE} = \frac{5}{6}\vec{AB}$. Вектор $\vec{EB}$ можно выразить через $\vec{AB}$ и $\vec{AE}$:

$\vec{EB} = \vec{AB} - \vec{AE} = \vec{AB} - \frac{5}{6}\vec{AB} = (1 - \frac{5}{6})\vec{AB} = \frac{1}{6}\vec{AB}$.

Подставляя $\vec{AB} = \vec{b}$, получаем: $\vec{EB} = \frac{1}{6}\vec{b}$.

Точка F лежит на стороне BC, и по условию $BF = \frac{2}{3}BC$, что в векторном виде записывается как $\vec{BF} = \frac{2}{3}\vec{BC}$.

Подставляя $\vec{BC} = -\vec{a}$, получаем: $\vec{BF} = \frac{2}{3}(-\vec{a}) = -\frac{2}{3}\vec{a}$.

Наконец, находим искомый вектор $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = \frac{1}{6}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a}$.

Ответ: $\vec{EF} = \frac{1}{6}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a}$

3.

Чтобы доказать, что точки A, F и E лежат на одной прямой, необходимо доказать коллинеарность векторов $\vec{AF}$ и $\vec{AE}$, то есть показать, что существует такое число $k$, что $\vec{AE} = k \cdot \vec{AF}$.

Введем базисные векторы с общим началом в точке A: пусть $\vec{AD} = \vec{d}$ и $\vec{AB} = \vec{b}$.

Из свойств параллелограмма имеем: $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{d}$.

Выразим вектор $\vec{AE}$ через базисные векторы. Точка E лежит на стороне CD так, что $DE : EC = 1 : 6$. Это означает, что вектор $\vec{DE}$ составляет $\frac{1}{1+6} = \frac{1}{7}$ от вектора $\vec{DC}$.

$\vec{DE} = \frac{1}{7}\vec{DC} = \frac{1}{7}\vec{b}$.

Теперь выразим $\vec{AE}$ по правилу сложения векторов (правило многоугольника):

$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{d} + \frac{1}{7}\vec{b}$.

Выразим вектор $\vec{AF}$ через базисные векторы. Точка F лежит на диагонали BD так, что $DF : FB = 1 : 7$. Это значит, что точка F делит отрезок BD в отношении 1:7.

Используем формулу для вектора, соединяющего начало координат с точкой, делящей отрезок в заданном отношении:

$\vec{AF} = \frac{7\vec{AD} + 1\vec{AB}}{7+1} = \frac{7\vec{d} + \vec{b}}{8} = \frac{1}{8}\vec{b} + \frac{7}{8}\vec{d}$.

Теперь сравним полученные выражения для векторов $\vec{AE}$ и $\vec{AF}$:

$\vec{AE} = \frac{1}{7}\vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AF} = \frac{1}{8}\vec{b} + \frac{7}{8}\vec{d}$

Проверим, существует ли число $k$, для которого $\vec{AE} = k \cdot \vec{AF}$.

$\frac{1}{7}\vec{b} + \vec{d} = k \left(\frac{1}{8}\vec{b} + \frac{7}{8}\vec{d}\right) = \frac{k}{8}\vec{b} + \frac{7k}{8}\vec{d}$

Векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ не коллинеарны, так как они представляют смежные стороны параллелограмма. Поэтому равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при $\vec{b}$ и $\vec{d}$ в левой и правой частях равны:

$\begin{cases} \frac{1}{7} = \frac{k}{8} \\ 1 = \frac{7k}{8} \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим $k = \frac{8}{7}$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: $1 = \frac{7 \cdot (8/7)}{8} = \frac{8}{8} = 1$. Равенство выполняется.

Таким образом, мы нашли такое число $k = \frac{8}{7}$, что $\vec{AE} = \frac{8}{7}\vec{AF}$. Это доказывает, что векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AF}$ коллинеарны. Так как эти векторы имеют общее начало (точку A), то точки A, F и E лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано, что точки A, F и E лежат на одной прямой.