Страница 14 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2

Самостоятельная работа № 1

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

1. Найдите значение выражения:

1) $\cos 120^\circ \sin 135^\circ \cot 150^\circ$

2) $4\tan^2 120^\circ + 4\sin^2 120^\circ - 3\cos 90^\circ \cot 100^\circ$

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $\frac{\cos 123^\circ}{\cos 57^\circ} - \frac{\tan 141^\circ}{\tan 39^\circ}$

2) $\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} + \frac{\cot 103^\circ}{\cot 77^\circ}$

3. Найдите:

1) $\cot \alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{1}{5}$

2) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{5}{6}$

1. Найдите значение выражения:

1) $cos120° \cdot sin135° \cdot ctg150°$

Для решения воспользуемся формулами приведения и значениями тригонометрических функций для стандартных углов.

$cos120° = cos(180° - 60°) = -cos60° = -\frac{1}{2}$

$sin135° = sin(180° - 45°) = sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$ctg150° = ctg(180° - 30°) = -ctg30° = -\sqrt{3}$

Теперь перемножим полученные значения:

$cos120° \cdot sin135° \cdot ctg150° = (-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

2) $4tg^2120° + 4sin^2120° - 3cos90° \cdot ctg100°$

Найдем значения для каждого члена выражения:

$tg120° = tg(180° - 60°) = -tg60° = -\sqrt{3}$, следовательно $tg^2120° = (-\sqrt{3})^2 = 3$.

$sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $sin^2120° = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

$cos90° = 0$.

Подставим значения в исходное выражение:

$4 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{3}{4} - 3 \cdot 0 \cdot ctg100° = 12 + 3 - 0 = 15$.

Ответ: $15$.

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $\frac{cos123°}{cos57°} - \frac{tg141°}{tg39°}$

Применим формулы приведения $cos(180° - \alpha) = -cos\alpha$ и $tg(180° - \alpha) = -tg\alpha$:

$cos123° = cos(180° - 57°) = -cos57°$

$tg141° = tg(180° - 39°) = -tg39°$

Подставим преобразованные значения в выражение:

$\frac{-cos57°}{cos57°} - \frac{-tg39°}{tg39°} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$

Ответ: $0$.

2) $\frac{sin18°}{sin162°} + \frac{ctg103°}{ctg77°}$

Применим формулы приведения $sin(180° - \alpha) = sin\alpha$ и $ctg(180° - \alpha) = -ctg\alpha$:

$sin162° = sin(180° - 18°) = sin18°$

$ctg103° = ctg(180° - 77°) = -ctg77°$

Подставим преобразованные значения в выражение:

$\frac{sin18°}{sin18°} + \frac{-ctg77°}{ctg77°} = 1 + (-1) = 1 - 1 = 0$

Ответ: $0$.

3. Найдите:

1) $ctg \alpha$, если $cos \alpha = -\frac{1}{5}$

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0°$ до $180°$. Так как $cos \alpha < 0$, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($90° < \alpha < 180°$). В этой четверти $sin \alpha > 0$ и $ctg \alpha < 0$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, чтобы найти $sin \alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$.

Так как $sin \alpha > 0$, то $sin \alpha = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Теперь найдем $ctg \alpha$ по формуле $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$:

$ctg \alpha = \frac{-1/5}{2\sqrt{6}/5} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot (\sqrt{6})^2} = -\frac{\sqrt{6}}{12}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{12}$.

2) $cos \alpha$, если $sin \alpha = \frac{5}{6}$

По условию, $0° \le \alpha \le 180°$. Так как $sin \alpha = \frac{5}{6} > 0$, угол $\alpha$ может находиться как в первой четверти ($0° < \alpha < 90°$, где $cos \alpha > 0$), так и во второй ($90° < \alpha < 180°$, где $cos \alpha < 0$).

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36-25}{36} = \frac{11}{36}$.

Отсюда $cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{11}{36}} = \pm\frac{\sqrt{11}}{6}$.

Оба значения возможны в заданном диапазоне углов.

Ответ: $\frac{\sqrt{11}}{6}$ или $-\frac{\sqrt{11}}{6}$.

Самостоятельная работа № 2

Теорема косинусов

1. Две стороны треугольника относятся как $3 : 8$, а угол между ними составляет $60^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $36$ см.

2. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = AD = 13$ см, $BC = 4$ см, $CD = 14$ см. Найдите диагональ $AC$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

3. Основание равнобедренного треугольника равно $8\sqrt{2}$ см, а боковая сторона — $12$ см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его боковой стороне.

1.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, две стороны относятся как 3 : 8. Пусть это будут стороны $a$ и $b$. Тогда можно записать их как $a = 3x$ и $b = 8x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Угол между этими сторонами равен $60^\circ$. Третью сторону $c$ найдем по теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60^\circ)$

Подставим значения $a$ и $b$, а также учтем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$c^2 = (3x)^2 + (8x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (8x) \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 9x^2 + 64x^2 - 24x^2$

$c^2 = 49x^2$

$c = \sqrt{49x^2} = 7x$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c$. По условию, периметр равен 36 см.

$3x + 8x + 7x = 36$

$18x = 36$

$x = \frac{36}{18} = 2$

Теперь найдем длины сторон треугольника:

$a = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см

$b = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см

$c = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см

Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 14 см и 16 см.

2.

Поскольку около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Свойство вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

Из этого следует, что $\cos(\angle D) = \cos(180^\circ - \angle B) = -\cos(\angle B)$.

Рассмотрим диагональ $AC$.

Из треугольника $ABC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 13^2 + 4^2 - 2 \cdot 13 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 169 + 16 - 104 \cdot \cos(\angle B) = 185 - 104 \cdot \cos(\angle B)$

Из треугольника $ADC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 13^2 + 14^2 - 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 169 + 196 - 364 \cdot \cos(\angle D) = 365 - 364 \cdot \cos(\angle D)$

Заменим $\cos(\angle D)$ на $-\cos(\angle B)$:

$AC^2 = 365 - 364 \cdot (-\cos(\angle B)) = 365 + 364 \cdot \cos(\angle B)$

Приравняем два выражения для $AC^2$:

$185 - 104 \cdot \cos(\angle B) = 365 + 364 \cdot \cos(\angle B)$

$104 \cdot \cos(\angle B) + 364 \cdot \cos(\angle B) = 185 - 365$

$468 \cdot \cos(\angle B) = -180$

$\cos(\angle B) = -\frac{180}{468} = -\frac{5}{13}$

Теперь подставим значение $\cos(\angle B)$ в первое уравнение для $AC^2$:

$AC^2 = 185 - 104 \cdot (-\frac{5}{13}) = 185 + \frac{104 \cdot 5}{13} = 185 + 8 \cdot 5 = 185 + 40 = 225$

$AC = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: диагональ $AC$ равна 15 см.

3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB=BC=12$ см — боковые стороны, а $AC=8\sqrt{2}$ см — основание.

Нужно найти медиану, проведенную к боковой стороне. Пусть это будет медиана $AM$, проведенная к стороне $BC$.

Длину медианы треугольника можно найти по формуле:

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$ , где $m_a$ — медиана к стороне $a$, а $b$ и $c$ — две другие стороны.

В нашем случае медиана $AM$ проведена к стороне $BC$. Значит, $a = BC = 12$, $b = AB = 12$, $c = AC = 8\sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot (AB)^2 + 2 \cdot (AC)^2 - (BC)^2}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot (8\sqrt{2})^2 - 12^2}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 144 + 2 \cdot (64 \cdot 2) - 144}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{288 + 2 \cdot 128 - 144}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{288 + 256 - 144}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{144 + 256}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{400}$

$AM = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.

Ответ: медиана, проведенная к боковой стороне, равна 10 см.

Самостоятельная работа № 3

Теорема синусов

1. На рисунке 5 $AC = b$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ADB = \gamma$, $AD = m$. Найдите синус угла ABD.

Рис. 5

2. Две стороны треугольника равны $2\sqrt{3}$ см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

3. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а основания относятся как 3 : 13. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 13 см.

1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По определению синуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\angle ABC) = \sin(\beta) = \frac{AC}{AB}$

Отсюда можем выразить длину гипотенузы AB:

$AB = \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Применим к нему теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов данного треугольника:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

Подставим известные значения AD = m и $\angle ADB = \gamma$:

$\frac{m}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\gamma)}$

Выразим искомый синус угла ABD:

$\sin(\angle ABD) = \frac{m \cdot \sin(\gamma)}{AB}$

Теперь подставим найденное ранее выражение для AB:

$\sin(\angle ABD) = \frac{m \cdot \sin(\gamma)}{\frac{b}{\sin(\beta)}} = \frac{m \cdot \sin(\beta) \cdot \sin(\gamma)}{b}$

Ответ: $\frac{m \cdot \sin(\beta) \cdot \sin(\gamma)}{b}$

2.

Пусть стороны треугольника равны $a = 2\sqrt{3}$ см, $b = 8$ см, а третья сторона $c$ равна радиусу описанной окружности $R$, то есть $c = R$. Пусть $C$ — угол, противолежащий стороне $c$.

Согласно обобщенной теореме синусов:

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

Подставим в это соотношение $c=R$:

$\frac{R}{\sin C} = 2R$

Отсюда находим $\sin C = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$.

Это означает, что угол $C$ может быть равен $30^\circ$ или $150^\circ$.

Для нахождения стороны $c$ применим теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) Если $C = 30^\circ$, то $\cos C = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$c^2 = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 + 64 - 32\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 76 - 16 \cdot 3 = 76 - 48 = 28$.

$c = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см.

2) Если $C = 150^\circ$, то $\cos C = \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$c^2 = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 8 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 12 + 64 + 48 = 124$.

$c = \sqrt{124} = \sqrt{4 \cdot 31} = 2\sqrt{31}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см или $2\sqrt{31}$ см.

3.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания ($AD > BC$), а AB и CD — боковые стороны ($AB=CD$). По условию, $BC : AD = 3 : 13$. Пусть $BC = 3x$, тогда $AD = 13x$. Радиус описанной окружности $R = 13$ см.

Тупые углы в такой трапеции находятся при меньшем основании, это углы $\angle B$ и $\angle C$. Пусть диагональ AC является биссектрисой тупого угла $\angle BCD$. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. Таким образом, треугольник ACD является равнобедренным с основанием AC, а значит, его боковые стороны равны: $CD = AD$.

Так как трапеция равнобокая, $AB = CD$, следовательно, боковая сторона трапеции равна ее большему основанию: $CD = AD = 13x$.

Окружность, описанная около трапеции, также является описанной окружностью для треугольника ACD. Применим обобщенную теорему синусов к треугольнику ACD:

$\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R$

Для нахождения $\sin(\angle ADC)$ проведем высоту CH из вершины C на основание AD. В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13x - 3x}{2} = 5x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Гипотенуза $CD = 13x$, катет $HD = 5x$. По определению косинуса:

$\cos(\angle ADC) = \frac{HD}{CD} = \frac{5x}{13x} = \frac{5}{13}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, найдем синус (синус угла трапеции от $0^\circ$ до $180^\circ$ положителен):

$\sin(\angle ADC) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle ADC)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

Теперь можем найти длину диагонали AC из теоремы синусов:

$AC = 2R \cdot \sin(\angle ADC)$

$AC = 2 \cdot 13 \cdot \frac{12}{13} = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.