Страница 7 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Расстояние между двумя точками

с данными координатами.

Деление отрезка в данном отношении

1. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(3; -2)$ и $B(1; 2)$.

2. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, $A(-3; -2)$, $B(5; 3)$, $C(3; -5)$. Найдите длину диагонали BD.

3. Точки $A(-2; -6)$, $B(1; -2)$ и $C(-7; 6)$ — вершины треугольника ABC. Найдите координаты точки пересечения биссектрисы угла BAC со стороной BC.

1.

Пусть искомая точка M лежит на оси абсцисс, тогда её координаты $M(x; 0)$.

Расстояние от точки до точки находится по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

По условию точка M равноудалена от точек A и B, значит, $MA = MB$. Чтобы избавиться от корней, возведём обе части в квадрат: $MA^2 = MB^2$.

Найдём квадраты расстояний:

$MA^2 = (x - 3)^2 + (0 - (-2))^2 = (x - 3)^2 + 2^2 = x^2 - 6x + 9 + 4 = x^2 - 6x + 13$

$MB^2 = (x - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 1)^2 + (-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5$

Приравняем полученные выражения:

$x^2 - 6x + 13 = x^2 - 2x + 5$

$-6x + 13 = -2x + 5$

$13 - 5 = -2x + 6x$

$8 = 4x$

$x = 2$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(2; 0)$.

Ответ: $(2; 0)$

2.

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Найдём координаты точки пересечения диагоналей O, которая является серединой диагонали AC.

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_O = \frac{x_A+x_C}{2}$, $y_O = \frac{y_A+y_C}{2}$.

$x_O = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_O = \frac{-2 + (-5)}{2} = \frac{-7}{2} = -3.5$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O(0; -3.5)$.

Точка O также является серединой диагонали BD. Найдём координаты вершины D $(x_D; y_D)$, используя координаты точки B $(5; 3)$ и O $(0; -3.5)$.

$x_O = \frac{x_B+x_D}{2} \Rightarrow 0 = \frac{5+x_D}{2} \Rightarrow 5+x_D=0 \Rightarrow x_D = -5$

$y_O = \frac{y_B+y_D}{2} \Rightarrow -3.5 = \frac{3+y_D}{2} \Rightarrow 3+y_D = -7 \Rightarrow y_D = -10$

Координаты вершины D равны $(-5; -10)$.

Теперь найдём длину диагонали BD, используя формулу расстояния между двумя точками B $(5; 3)$ и D $(-5; -10)$.

$BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2} = \sqrt{(-5 - 5)^2 + (-10 - 3)^2} = \sqrt{(-10)^2 + (-13)^2} = \sqrt{100 + 169} = \sqrt{269}$.

Ответ: $\sqrt{269}$

3.

Пусть AL — биссектриса угла BAC, где L — точка пересечения биссектрисы со стороной BC.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$.

Найдём длины сторон AB и AC по формуле расстояния между двумя точками.

Координаты точек: A $(-2; –6)$, B $(1; –2)$, C $(-7; 6)$.

$AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - (-6))^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

$AC = \sqrt{(-7 - (-2))^2 + (6 - (-6))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Следовательно, точка L делит отрезок BC в отношении $\lambda = \frac{BL}{LC} = \frac{5}{13}$.

Координаты точки L $(x_L; y_L)$, делящей отрезок BC в отношении $\lambda$, находятся по формулам:

$x_L = \frac{x_B + \lambda x_C}{1 + \lambda}$ и $y_L = \frac{y_B + \lambda y_C}{1 + \lambda}$ (если отношение от B к C). Или можно использовать формулу деления отрезка в отношении $m:n$, где $m=5, n=13$: $x_L = \frac{n \cdot x_B + m \cdot x_C}{m+n}$, $y_L = \frac{n \cdot y_B + m \cdot y_C}{m+n}$.

Вычислим координаты точки L:

$x_L = \frac{13 \cdot 1 + 5 \cdot (-7)}{5 + 13} = \frac{13 - 35}{18} = \frac{-22}{18} = -\frac{11}{9}$.

$y_L = \frac{13 \cdot (-2) + 5 \cdot 6}{5 + 13} = \frac{-26 + 30}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.

Координаты точки пересечения биссектрисы со стороной BC равны $(-\frac{11}{9}; \frac{2}{9})$.

Ответ: $(-\frac{11}{9}; \frac{2}{9})$

Самостоятельная работа № 9

Уравнение фигуры

1. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0$ является уравнением окружности, и укажите координаты её центра и радиус.

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $D(-8; -2)$, если центр окружности принадлежит оси ординат, а радиус равен $10$.

3. Дана окружность $(x - 6)^2 + (y + 8)^2 = 49$. Найдите уравнение окружности с центром $O_1(2; -5)$, которая касается данной окружности.

1. Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус окружности. Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, приведем его к каноническому виду, используя метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:
$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) - 7 = 0$.

Выделим полные квадраты. Для этого добавим и вычтем необходимые числа. Для $(x^2 - 2x)$ нужно добавить и вычесть $(2/2)^2 = 1$. Для $(y^2 - 4y)$ нужно добавить и вычесть $(4/2)^2 = 4$.
$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 - 7 = 0$.

Свернем квадраты и упростим выражение:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 - 7 = 0$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 12 = 0$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 12$.

Полученное уравнение соответствует каноническому виду уравнения окружности. Правая часть $12 > 0$, что подтверждает, что это уравнение окружности. Из этого уравнения можно определить координаты центра и радиус.
Центр окружности: $(a; b) = (1; 2)$.
Квадрат радиуса: $R^2 = 12$, следовательно, радиус $R = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(1; 2)$ и радиусом $2\sqrt{3}$.

2. Уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

По условию, центр окружности принадлежит оси ординат (оси $y$). Это означает, что абсцисса (координата $x$) центра равна нулю. Таким образом, координаты центра $(0; b)$.

Радиус окружности по условию равен $R = 10$.

Подставим известные данные в уравнение окружности:
$(x - 0)^2 + (y - b)^2 = 10^2$
$x^2 + (y - b)^2 = 100$.

Окружность проходит через точку $D(-8; -2)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x = -8$ и $y = -2$ в полученное уравнение, чтобы найти $b$:
$(-8)^2 + (-2 - b)^2 = 100$
$64 + (-2 - b)^2 = 100$
$(-2 - b)^2 = 100 - 64$
$(-2 - b)^2 = 36$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$-2 - b = 6$ или $-2 - b = -6$.

Решаем оба уравнения:
1) $-b = 6 + 2 \implies -b = 8 \implies b_1 = -8$.
2) $-b = -6 + 2 \implies -b = -4 \implies b_2 = 4$.

Мы получили два возможных значения для ординаты центра, следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.
1) Центр $(0; -8)$, уравнение: $x^2 + (y - (-8))^2 = 100 \implies x^2 + (y + 8)^2 = 100$.
2) Центр $(0; 4)$, уравнение: $x^2 + (y - 4)^2 = 100$.

Ответ: $x^2 + (y + 8)^2 = 100$ или $x^2 + (y - 4)^2 = 100$.

3. Сначала определим параметры данной окружности из её уравнения: $(x - 6)^2 + (y + 8)^2 = 49$.

Центр данной окружности $O$ имеет координаты $(6; -8)$.
Радиус данной окружности $R = \sqrt{49} = 7$.

Искомая окружность имеет центр в точке $O_1(2; -5)$. Обозначим её радиус как $R_1$.

Условие касания двух окружностей означает, что расстояние между их центрами равно либо сумме их радиусов (внешнее касание), либо модулю разности их радиусов (внутреннее касание).

Найдем расстояние $d$ между центрами $O(6; -8)$ и $O_1(2; -5)$ по формуле расстояния между двумя точками:
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-5 - (-8))^2}$
$d = \sqrt{(-4)^2 + (-5 + 8)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Теперь рассмотрим два возможных случая касания:

1) Внешнее касание: $d = R + R_1$.
$5 = 7 + R_1 \implies R_1 = 5 - 7 = -2$. Радиус не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен.

2) Внутреннее касание: $d = |R - R_1|$.
$5 = |7 - R_1|$.
Это уравнение распадается на два:
а) $7 - R_1 = 5 \implies R_1 = 7 - 5 = 2$.
б) $7 - R_1 = -5 \implies R_1 = 7 + 5 = 12$.

Оба значения радиуса $R_1=2$ и $R_1=12$ являются положительными, поэтому существуют две окружности, удовлетворяющие условию задачи.

Уравнение искомой окружности имеет вид $(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 = R_1^2$, то есть $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = R_1^2$.

Подставим найденные значения $R_1$:
1) Если $R_1 = 2$, то уравнение: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2^2 = 4$.
2) Если $R_1 = 12$, то уравнение: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 12^2 = 144$.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 4$ или $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 144$.