Номер 9, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 9

Уравнение фигуры

1. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0$ является уравнением окружности, и укажите координаты её центра и радиус.

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $D(-8; -2)$, если центр окружности принадлежит оси ординат, а радиус равен $10$.

3. Дана окружность $(x - 6)^2 + (y + 8)^2 = 49$. Найдите уравнение окружности с центром $O_1(2; -5)$, которая касается данной окружности.

1. Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус окружности. Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, приведем его к каноническому виду, используя метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:
$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) - 7 = 0$.

Выделим полные квадраты. Для этого добавим и вычтем необходимые числа. Для $(x^2 - 2x)$ нужно добавить и вычесть $(2/2)^2 = 1$. Для $(y^2 - 4y)$ нужно добавить и вычесть $(4/2)^2 = 4$.
$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 - 7 = 0$.

Свернем квадраты и упростим выражение:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 - 7 = 0$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 12 = 0$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 12$.

Полученное уравнение соответствует каноническому виду уравнения окружности. Правая часть $12 > 0$, что подтверждает, что это уравнение окружности. Из этого уравнения можно определить координаты центра и радиус.
Центр окружности: $(a; b) = (1; 2)$.
Квадрат радиуса: $R^2 = 12$, следовательно, радиус $R = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(1; 2)$ и радиусом $2\sqrt{3}$.

2. Уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

По условию, центр окружности принадлежит оси ординат (оси $y$). Это означает, что абсцисса (координата $x$) центра равна нулю. Таким образом, координаты центра $(0; b)$.

Радиус окружности по условию равен $R = 10$.

Подставим известные данные в уравнение окружности:
$(x - 0)^2 + (y - b)^2 = 10^2$
$x^2 + (y - b)^2 = 100$.

Окружность проходит через точку $D(-8; -2)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x = -8$ и $y = -2$ в полученное уравнение, чтобы найти $b$:
$(-8)^2 + (-2 - b)^2 = 100$
$64 + (-2 - b)^2 = 100$
$(-2 - b)^2 = 100 - 64$
$(-2 - b)^2 = 36$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$-2 - b = 6$ или $-2 - b = -6$.

Решаем оба уравнения:
1) $-b = 6 + 2 \implies -b = 8 \implies b_1 = -8$.
2) $-b = -6 + 2 \implies -b = -4 \implies b_2 = 4$.

Мы получили два возможных значения для ординаты центра, следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.
1) Центр $(0; -8)$, уравнение: $x^2 + (y - (-8))^2 = 100 \implies x^2 + (y + 8)^2 = 100$.
2) Центр $(0; 4)$, уравнение: $x^2 + (y - 4)^2 = 100$.

Ответ: $x^2 + (y + 8)^2 = 100$ или $x^2 + (y - 4)^2 = 100$.

3. Сначала определим параметры данной окружности из её уравнения: $(x - 6)^2 + (y + 8)^2 = 49$.

Центр данной окружности $O$ имеет координаты $(6; -8)$.
Радиус данной окружности $R = \sqrt{49} = 7$.

Искомая окружность имеет центр в точке $O_1(2; -5)$. Обозначим её радиус как $R_1$.

Условие касания двух окружностей означает, что расстояние между их центрами равно либо сумме их радиусов (внешнее касание), либо модулю разности их радиусов (внутреннее касание).

Найдем расстояние $d$ между центрами $O(6; -8)$ и $O_1(2; -5)$ по формуле расстояния между двумя точками:
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-5 - (-8))^2}$
$d = \sqrt{(-4)^2 + (-5 + 8)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Теперь рассмотрим два возможных случая касания:

1) Внешнее касание: $d = R + R_1$.
$5 = 7 + R_1 \implies R_1 = 5 - 7 = -2$. Радиус не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен.

2) Внутреннее касание: $d = |R - R_1|$.
$5 = |7 - R_1|$.
Это уравнение распадается на два:
а) $7 - R_1 = 5 \implies R_1 = 7 - 5 = 2$.
б) $7 - R_1 = -5 \implies R_1 = 7 + 5 = 12$.

Оба значения радиуса $R_1=2$ и $R_1=12$ являются положительными, поэтому существуют две окружности, удовлетворяющие условию задачи.

Уравнение искомой окружности имеет вид $(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 = R_1^2$, то есть $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = R_1^2$.

Подставим найденные значения $R_1$:
1) Если $R_1 = 2$, то уравнение: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2^2 = 4$.
2) Если $R_1 = 12$, то уравнение: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 12^2 = 144$.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 4$ или $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 144$.