Номер 10, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Общее уравнение прямой

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

1) C (-2; 3) и D (1; 3);

2) M (2; 6) и K (2; -3);

3) A (-1; 4) и B (3; -8).

2. Докажите, что окружность $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 17$ и прямая $x - y = 8$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

3. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 13 и которые отсекают на оси ординат хорду длиной 24.

1) Даны точки $C(-2; 3)$ и $D(1; 3)$. Поскольку ординаты (координаты $y$) обеих точек одинаковы и равны 3, прямая, проходящая через эти точки, является горизонтальной. Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ - постоянное значение ординаты.
Следовательно, уравнение прямой: $y = 3$.
Ответ: $y = 3$.

2) Даны точки $M(2; 6)$ и $K(2; -3)$. Поскольку абсциссы (координаты $x$) обеих точек одинаковы и равны 2, прямая, проходящая через эти точки, является вертикальной. Уравнение такой прямой имеет вид $x = c$, где $c$ - постоянное значение абсциссы.
Следовательно, уравнение прямой: $x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

3) Для точек $A(-1; 4)$ и $B(3; -8)$ используем каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставляем координаты точек A и B:
$\frac{x - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{y - 4}{-8 - 4}$
$\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 4}{-12}$
Умножим обе части на 4, чтобы упростить:
$x + 1 = \frac{y - 4}{-3}$
$-3(x + 1) = y - 4$
$-3x - 3 = y - 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:
$3x + y - 1 = 0$
Ответ: $3x + y - 1 = 0$.

2. Чтобы доказать, что окружность $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17$ и прямая $x - y = 8$ пересекаются, и найти их точки пересечения, нужно решить систему уравнений:
$\begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17 \\ x - y = 8 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 8$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$((y + 8) - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17$
$(y + 6)^2 + (y + 3)^2 = 17$
Раскроем скобки:
$(y^2 + 12y + 36) + (y^2 + 6y + 9) = 17$
$2y^2 + 18y + 45 = 17$
$2y^2 + 18y + 28 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$y^2 + 9y + 14 = 0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$
Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это доказывает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.
Найдем корни уравнения (значения $y$):
$y_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-9 \pm 5}{2}$
$y_1 = \frac{-9 - 5}{2} = -7$
$y_2 = \frac{-9 + 5}{2} = -2$
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x = y + 8$:
При $y_1 = -7$, $x_1 = -7 + 8 = 1$. Координаты первой точки: $(1; -7)$.
При $y_2 = -2$, $x_2 = -2 + 8 = 6$. Координаты второй точки: $(6; -2)$.
Ответ: Прямая и окружность пересекаются, точки пересечения имеют координаты $(1; -7)$ и $(6; -2)$.

3. Пусть центр окружности имеет координаты $(x_0, y_0)$. Радиус окружности $R = 13$. Окружность отсекает на оси ординат (прямой $x=0$) хорду длиной $L = 24$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом окружности, проведенным к одному из концов хорды, половиной хорды и перпендикуляром, опущенным из центра окружности на ось ординат.
Катетами этого треугольника являются:
1. Расстояние от центра $(x_0, y_0)$ до оси ординат. Это расстояние равно $|x_0|$.
2. Половина длины хорды, то есть $L/2 = 24/2 = 12$.
Гипотенузой является радиус окружности $R = 13$.
По теореме Пифагора:
$R^2 = (|x_0|)^2 + (L/2)^2$
Подставим известные значения:
$13^2 = x_0^2 + 12^2$
$169 = x_0^2 + 144$
$x_0^2 = 169 - 144$
$x_0^2 = 25$
Это уравнение связывает координаты центров $(x_0, y_0)$ всех окружностей, удовлетворяющих условию. Заметим, что на координату $y_0$ нет никаких ограничений, она может быть любой. Таким образом, геометрическое место центров - это все точки, у которых абсцисса удовлетворяет уравнению $x^2 = 25$. Это уравнение описывает две вертикальные прямые $x = 5$ и $x = -5$.
Ответ: $x^2 = 25$.