Номер 6, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Правильные многоугольники

и их свойства

1. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, $\angle BMC = 140^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

2. В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник. В этот треугольник вписана окружность, а в окружность — квадрат. Найдите сторону квадрата.

3. Сторона правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ равна 6 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

1.

Пусть дан правильный $n$-угольник. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — его три последовательные стороны. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, образуя треугольник $MBC$.
Угол $∠BMC = 140°$. Углы $∠MBC$ и $∠MCB$ являются внешними углами правильного многоугольника.
В правильном многоугольнике все внутренние углы равны, и все внешние углы также равны между собой. Обозначим величину внешнего угла как $β$.
Сумма углов в треугольнике $MBC$ равна $180°$:
$∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = 180°$
$140° + β + β = 180°$
$2β = 180° - 140°$
$2β = 40°$
$β = 20°$
Величина внешнего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле $β = \frac{360°}{n}$, где $n$ — количество сторон.
Найдем количество сторон $n$:
$n = \frac{360°}{β} = \frac{360°}{20°} = 18$

Ответ: 18 сторон.

2.

Задача решается в несколько этапов:
1. Находим радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, который вписан в окружность с радиусом $R = 6$ см.
Для правильного (равностороннего) треугольника радиус вписанной окружности $r$ в два раза меньше радиуса описанной окружности $R$.
$r = \frac{R}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
2. Теперь у нас есть окружность радиусом $r = 3$ см, в которую вписан квадрат. Нужно найти сторону этого квадрата.
Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности.
Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — его диагональ.
$d = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ см.
По теореме Пифагора для квадрата: $a^2 + a^2 = d^2$.
$2a^2 = d^2$
$2a^2 = 6^2 = 36$
$a^2 = 18$
$a = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

3.

Дан правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$ со стороной $a = 6$ см. Найдем длины диагоналей $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.
Внутренний угол правильного восьмиугольника равен:
$α = \frac{(8-2) \cdot 180°}{8} = \frac{6 \cdot 180°}{8} = 135°$.
Диагональ $A_1A_3$:
Рассмотрим равнобедренный треугольник $A_1A_2A_3$. У него стороны $A_1A_2 = A_2A_3 = a = 6$ см, а угол между ними $∠A_1A_2A_3 = 135°$.
По теореме косинусов:
$A_1A_3^2 = A_1A_2^2 + A_2A_3^2 - 2 \cdot A_1A_2 \cdot A_2A_3 \cdot \cos(135°)$
$A_1A_3^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 36 + 36 + 36\sqrt{2} = 72 + 36\sqrt{2} = 36(2+\sqrt{2})$
$A_1A_3 = \sqrt{36(2+\sqrt{2})} = 6\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см.
Диагональ $A_1A_4$:
Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2A_3A_4$. Он вписан в окружность. По теореме Птолемея для вписанного четырехугольника:
$A_1A_3 \cdot A_2A_4 = A_1A_2 \cdot A_3A_4 + A_2A_3 \cdot A_1A_4$
В силу симметрии правильного восьмиугольника $A_2A_4 = A_1A_3$. Стороны $A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = a = 6$.
$A_1A_3^2 = a^2 + a \cdot A_1A_4$
Подставим найденное значение $A_1A_3^2$:
$36(2+\sqrt{2}) = 6^2 + 6 \cdot A_1A_4$
$72 + 36\sqrt{2} = 36 + 6 \cdot A_1A_4$
$36 + 36\sqrt{2} = 6 \cdot A_1A_4$
$A_1A_4 = \frac{36(1+\sqrt{2})}{6} = 6(1+\sqrt{2})$ см.
Диагональ $A_1A_5$:
Диагональ $A_1A_5$ соединяет противоположные вершины и проходит через центр описанной окружности, являясь ее диаметром.
Рассмотрим треугольник $A_1A_4A_5$. Так как $A_1A_5$ — диаметр, то вписанный угол $∠A_1A_4A_5$, опирающийся на этот диаметр, является прямым ($90°$).
Таким образом, треугольник $A_1A_4A_5$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:
$A_1A_5^2 = A_1A_4^2 + A_4A_5^2$
Сторона $A_4A_5 = a = 6$.
$A_1A_5^2 = (6(1+\sqrt{2}))^2 + 6^2 = 36(1+2\sqrt{2}+2) + 36 = 36(3+2\sqrt{2}) + 36 = 36(3+2\sqrt{2}+1) = 36(4+2\sqrt{2})$
$A_1A_5 = \sqrt{36(4+2\sqrt{2})} = 6\sqrt{4+2\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $A_1A_3 = 6\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см, $A_1A_4 = 6(1+\sqrt{2})$ см, $A_1A_5 = 6\sqrt{4+2\sqrt{2}}$ см.