Страница 6 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Формулы для нахождения площади треугольника

1. На сторонах угла А отложены отрезки $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $AD = 6$ см и $DE = 2$ см (рис. 2). Найдите отношение площадей треугольника $ABD$ и четырёх-угольника $BCED$.

2. Медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AM = 18$ см, $CK = 15$ см, $\angle AOC = 120^\circ$.

3. Основания трапеции равны 7 см и 8 см, а диагонали — 13 см и 4 см. Найдите площадь трапеции.

1.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Обозначим угол $\angle A$ как $\alpha$.

Сначала найдём длины сторон $AC$ и $AE$ из данных на рисунке:

$AC = AB + BC = 4 + 5 = 9$ см.

$AE = AD + DE = 6 + 2 = 8$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника ABD ($S_{ABD}$):

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin \alpha = 12 \sin \alpha$.

Площадь большего треугольника ACE ($S_{ACE}$) равна:

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AE \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot \sin \alpha = 36 \sin \alpha$.

Площадь четырёхугольника BCED ($S_{BCED}$) можно найти как разность площадей треугольников ACE и ABD:

$S_{BCED} = S_{ACE} - S_{ABD} = 36 \sin \alpha - 12 \sin \alpha = 24 \sin \alpha$.

Найдём искомое отношение площадей:

$\frac{S_{ABD}}{S_{BCED}} = \frac{12 \sin \alpha}{24 \sin \alpha} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2.

Известно, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть O — точка пересечения медиан AM и CK.

Исходя из этого свойства, найдём длины отрезков AO и CO:

$AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ см.

$CO = \frac{2}{3} CK = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.

Площадь треугольника AOC ($S_{AOC}$) найдём по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot \sin(\angle AOC)$.

По условию $\angle AOC = 120^\circ$. Значение синуса этого угла: $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$ см².

Медиана AM делит треугольник ABC на два треугольника равной площади: $S_{AMC} = S_{AMB}$. Следовательно, $S_{ABC} = 2 \cdot S_{AMC}$.

Площадь треугольника AMC, в свою очередь, складывается из площадей треугольников AOC и MOC. Так как эти треугольники имеют общую высоту из вершины C к прямой AM, их площади относятся как длины оснований AO и OM:

$\frac{S_{AOC}}{S_{MOC}} = \frac{AO}{OM} = \frac{2/3 \cdot AM}{1/3 \cdot AM} = 2$.

Отсюда находим площадь $S_{MOC}$:

$S_{MOC} = \frac{S_{AOC}}{2} = \frac{30\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ см².

Теперь найдём площадь треугольника AMC:

$S_{AMC} = S_{AOC} + S_{MOC} = 30\sqrt{3} + 15\sqrt{3} = 45\sqrt{3}$ см².

И, наконец, площадь всего треугольника ABC:

$S_{ABC} = 2 \cdot S_{AMC} = 2 \cdot 45\sqrt{3} = 90\sqrt{3}$ см².

Ответ: $90\sqrt{3}$ см².

3.

Для нахождения площади трапеции по известным основаниям и диагоналям удобно использовать метод построения вспомогательного треугольника. Пусть дана трапеция ABCD с основаниями $a = 8$ см и $b = 7$ см, и диагоналями $d_1 = 13$ см и $d_2 = 4$ см.

Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до её пересечения с продолжением основания AD в точке E. В результате получим четырёхугольник BCED, который является параллелограммом (так как $BC \parallel DE$ и $CE \parallel BD$). Из этого следует, что $DE = BC = 7$ см, а $CE = BD = 4$ см.

В результате построения мы получили треугольник ACE со сторонами: $AC = d_1 = 13$ см, $CE = d_2 = 4$ см, $AE = AD + DE = a + b = 8 + 7 = 15$ см.

Площадь этого треугольника можно вычислить по формуле Герона: $S = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}$, где $s$ — полупериметр, а $x, y, z$ — длины сторон.

Полупериметр треугольника ACE равен:

$s = \frac{13 + 4 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника ACE:

$S_{ACE} = \sqrt{16(16-13)(16-4)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot 12 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24$ см².

Площадь трапеции ABCD равна площади полученного треугольника ACE, так как $S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} \cdot h$ и $S_{ACE} = \frac{AE}{2} \cdot h = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

Ответ: 24 см².

Самостоятельная работа № 6

Правильные многоугольники

и их свойства

1. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, $\angle BMC = 140^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

2. В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник. В этот треугольник вписана окружность, а в окружность — квадрат. Найдите сторону квадрата.

3. Сторона правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ равна 6 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

1.

Пусть дан правильный $n$-угольник. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — его три последовательные стороны. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, образуя треугольник $MBC$.
Угол $∠BMC = 140°$. Углы $∠MBC$ и $∠MCB$ являются внешними углами правильного многоугольника.
В правильном многоугольнике все внутренние углы равны, и все внешние углы также равны между собой. Обозначим величину внешнего угла как $β$.
Сумма углов в треугольнике $MBC$ равна $180°$:
$∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = 180°$
$140° + β + β = 180°$
$2β = 180° - 140°$
$2β = 40°$
$β = 20°$
Величина внешнего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле $β = \frac{360°}{n}$, где $n$ — количество сторон.
Найдем количество сторон $n$:
$n = \frac{360°}{β} = \frac{360°}{20°} = 18$

Ответ: 18 сторон.

2.

Задача решается в несколько этапов:
1. Находим радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, который вписан в окружность с радиусом $R = 6$ см.
Для правильного (равностороннего) треугольника радиус вписанной окружности $r$ в два раза меньше радиуса описанной окружности $R$.
$r = \frac{R}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
2. Теперь у нас есть окружность радиусом $r = 3$ см, в которую вписан квадрат. Нужно найти сторону этого квадрата.
Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности.
Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — его диагональ.
$d = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ см.
По теореме Пифагора для квадрата: $a^2 + a^2 = d^2$.
$2a^2 = d^2$
$2a^2 = 6^2 = 36$
$a^2 = 18$
$a = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

3.

Дан правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$ со стороной $a = 6$ см. Найдем длины диагоналей $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.
Внутренний угол правильного восьмиугольника равен:
$α = \frac{(8-2) \cdot 180°}{8} = \frac{6 \cdot 180°}{8} = 135°$.
Диагональ $A_1A_3$:
Рассмотрим равнобедренный треугольник $A_1A_2A_3$. У него стороны $A_1A_2 = A_2A_3 = a = 6$ см, а угол между ними $∠A_1A_2A_3 = 135°$.
По теореме косинусов:
$A_1A_3^2 = A_1A_2^2 + A_2A_3^2 - 2 \cdot A_1A_2 \cdot A_2A_3 \cdot \cos(135°)$
$A_1A_3^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 36 + 36 + 36\sqrt{2} = 72 + 36\sqrt{2} = 36(2+\sqrt{2})$
$A_1A_3 = \sqrt{36(2+\sqrt{2})} = 6\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см.
Диагональ $A_1A_4$:
Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2A_3A_4$. Он вписан в окружность. По теореме Птолемея для вписанного четырехугольника:
$A_1A_3 \cdot A_2A_4 = A_1A_2 \cdot A_3A_4 + A_2A_3 \cdot A_1A_4$
В силу симметрии правильного восьмиугольника $A_2A_4 = A_1A_3$. Стороны $A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = a = 6$.
$A_1A_3^2 = a^2 + a \cdot A_1A_4$
Подставим найденное значение $A_1A_3^2$:
$36(2+\sqrt{2}) = 6^2 + 6 \cdot A_1A_4$
$72 + 36\sqrt{2} = 36 + 6 \cdot A_1A_4$
$36 + 36\sqrt{2} = 6 \cdot A_1A_4$
$A_1A_4 = \frac{36(1+\sqrt{2})}{6} = 6(1+\sqrt{2})$ см.
Диагональ $A_1A_5$:
Диагональ $A_1A_5$ соединяет противоположные вершины и проходит через центр описанной окружности, являясь ее диаметром.
Рассмотрим треугольник $A_1A_4A_5$. Так как $A_1A_5$ — диаметр, то вписанный угол $∠A_1A_4A_5$, опирающийся на этот диаметр, является прямым ($90°$).
Таким образом, треугольник $A_1A_4A_5$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:
$A_1A_5^2 = A_1A_4^2 + A_4A_5^2$
Сторона $A_4A_5 = a = 6$.
$A_1A_5^2 = (6(1+\sqrt{2}))^2 + 6^2 = 36(1+2\sqrt{2}+2) + 36 = 36(3+2\sqrt{2}) + 36 = 36(3+2\sqrt{2}+1) = 36(4+2\sqrt{2})$
$A_1A_5 = \sqrt{36(4+2\sqrt{2})} = 6\sqrt{4+2\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $A_1A_3 = 6\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см, $A_1A_4 = 6(1+\sqrt{2})$ см, $A_1A_5 = 6\sqrt{4+2\sqrt{2}}$ см.

Самостоятельная работа № 7

Длина окружности. Площадь круга

1. Радиус круга увеличили на $\frac{1}{3}$ его длины. Во сколько раз увеличилась:

1) длина окружности;

2) площадь круга, ограниченного данной окружностью?

2. Диаметр ведущего колеса электровоза равен 2 м. Найдите скорость электровоза в километрах в час, если ведущее колесо за одну минуту делает 100 оборотов. Ответ округлите до единиц.

3. Радиус круга равен 4 см. По разные стороны от его центра проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного четырёхугольника и правильного шестиугольника, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

1.

Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. Согласно условию, радиус увеличили на $\frac{1}{3}$ его длины. Новый радиус $R_2$ будет равен:

$R_2 = R_1 + \frac{1}{3}R_1 = (1 + \frac{1}{3})R_1 = \frac{4}{3}R_1$

1) длина окружности;

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

Первоначальная длина окружности: $C_1 = 2\pi R_1$.

Новая длина окружности: $C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi (\frac{4}{3}R_1) = \frac{4}{3}(2\pi R_1) = \frac{4}{3}C_1$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась длина окружности, найдем отношение новой длины к первоначальной:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{4}{3}C_1}{C_1} = \frac{4}{3}$

Ответ: Длина окружности увеличилась в $\frac{4}{3}$ раза.

2) площадь круга, ограниченного данной окружностью?

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Первоначальная площадь круга: $S_1 = \pi R_1^2$.

Новая площадь круга: $S_2 = \pi R_2^2 = \pi (\frac{4}{3}R_1)^2 = \pi (\frac{16}{9}R_1^2) = \frac{16}{9}(\pi R_1^2) = \frac{16}{9}S_1$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь круга, найдем отношение новой площади к первоначальной:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{16}{9}S_1}{S_1} = \frac{16}{9}$

Ответ: Площадь круга увеличилась в $\frac{16}{9}$ раза.

2.

Найдем длину окружности ведущего колеса. Диаметр $d = 2$ м, значит радиус $R = \frac{d}{2} = 1$ м.

Длина окружности колеса $C$ равна:

$C = 2\pi R = 2\pi(1) = 2\pi$ м.

За один оборот колесо проходит расстояние, равное длине его окружности. За одну минуту колесо делает 100 оборотов, значит, за минуту электровоз проходит расстояние:

$L_{мин} = 100 \times C = 100 \times 2\pi = 200\pi$ м.

Таким образом, скорость электровоза составляет $200\pi$ метров в минуту.

Переведем скорость в километры в час. В одном часе 60 минут, а в одном километре 1000 метров.

Скорость в метрах в час:

$V_{м/ч} = 200\pi \frac{м}{мин} \times 60 \frac{мин}{ч} = 12000\pi \frac{м}{ч}$.

Скорость в километрах в час:

$V_{км/ч} = \frac{12000\pi}{1000} \frac{км}{ч} = 12\pi \frac{км}{ч}$.

Теперь вычислим приближенное значение и округлим до единиц. Примем $\pi \approx 3.14159$.

$V_{км/ч} = 12\pi \approx 12 \times 3.14159 \approx 37.699$ км/ч.

Округляя до единиц, получаем 38 км/ч.

Ответ: Скорость электровоза примерно равна 38 км/ч.

3.

Площадь части круга, находящейся между двумя параллельными хордами, расположенными по разные стороны от центра, можно найти, если из общей площади круга вычесть площади двух сегментов, отсекаемых этими хордами.

Радиус круга $R = 4$ см. Площадь всего круга $S_{кр}$ равна:

$S_{кр} = \pi R^2 = \pi(4^2) = 16\pi$ см$^2$.

Площадь сегмента вычисляется по формуле $S_{сег} = S_{сект} - S_{\triangle}$, где $S_{сект}$ — площадь сектора, а $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, образованного хордой и двумя радиусами.

Найдем площадь сегмента, отсекаемого хордой, равной стороне правильного четырехугольника (квадрата).

Сторона вписанного квадрата $a_4 = R\sqrt{2}$. Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\alpha = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Площадь соответствующего сектора:

$S_{сект1} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi (4^2) = \frac{1}{4} \times 16\pi = 4\pi$ см$^2$.

Площадь треугольника, образованного хордой и радиусами:

$S_{\triangle1} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (4^2) \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \times 16 \times 1 = 8$ см$^2$.

Площадь первого сегмента:

$S_{сег1} = S_{сект1} - S_{\triangle1} = 4\pi - 8$ см$^2$.

Найдем площадь сегмента, отсекаемого хордой, равной стороне правильного шестиугольника.

Сторона вписанного правильного шестиугольника $a_6 = R$. Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\beta = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

Площадь соответствующего сектора:

$S_{сект2} = \frac{\beta}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi (4^2) = \frac{1}{6} \times 16\pi = \frac{8\pi}{3}$ см$^2$.

Площадь треугольника, образованного хордой и радиусами:

$S_{\triangle2} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\beta) = \frac{1}{2} (4^2) \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь второго сегмента:

$S_{сег2} = S_{сект2} - S_{\triangle2} = \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Найдем искомую площадь.

Площадь части круга между хордами $S_{между}$ равна площади круга минус площади двух сегментов:

$S_{между} = S_{кр} - S_{сег1} - S_{сег2} = 16\pi - (4\pi - 8) - (\frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3})$

$S_{между} = 16\pi - 4\pi + 8 - \frac{8\pi}{3} + 4\sqrt{3} = 12\pi - \frac{8\pi}{3} + 8 + 4\sqrt{3}$

$S_{между} = \frac{36\pi - 8\pi}{3} + 8 + 4\sqrt{3} = \frac{28\pi}{3} + 8 + 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: Площадь части круга, находящейся между хордами, равна $(\frac{28\pi}{3} + 8 + 4\sqrt{3})$ см$^2$.