Страница 10 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Умножение вектора на число.

Применение векторов к решению задач

1. Даны векторы $\vec{a}(2; -3)$ и $\vec{b}(4; -5)$. Найдите координаты вектора:

1) $2\vec{a} + \vec{b}$;

2) $3\vec{b} - 4\vec{a}$.

2. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $M$ и $N$ соответственно так, что $BM = \frac{1}{3}BC$, $CN = \frac{4}{5}CD$. Выразите вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

3. На стороне $AD$ и диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM : MD = 1 : 4$, $AK : KC = 1 : 5$. Используя векторы, докажите, что точки $B$, $K$ и $M$ лежат на одной прямой.

1. Даны векторы $\vec{a}(2; -3)$ и $\vec{b}(4; -5)$.

1) $2\vec{a} + \vec{b}$
Для нахождения координат вектора $2\vec{a} + \vec{b}$ сначала вычислим координаты вектора $2\vec{a}$, умножив каждую координату вектора $\vec{a}$ на 2:
$2\vec{a} = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-3)) = (4; -6)$.
Затем сложим соответствующие координаты векторов $2\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$2\vec{a} + \vec{b} = (4 + 4; -6 + (-5)) = (8; -11)$.
Ответ: $(8; -11)$.

2) $3\vec{b} - 4\vec{a}$
Для нахождения координат вектора $3\vec{b} - 4\vec{a}$ сначала вычислим координаты векторов $3\vec{b}$ и $4\vec{a}$.
$3\vec{b} = (3 \cdot 4; 3 \cdot (-5)) = (12; -15)$.
$4\vec{a} = (4 \cdot 2; 4 \cdot (-3)) = (8; -12)$.
Теперь вычтем из координат вектора $3\vec{b}$ соответствующие координаты вектора $4\vec{a}$:
$3\vec{b} - 4\vec{a} = (12 - 8; -15 - (-12)) = (4; -15 + 12) = (4; -3)$.
Ответ: $(4; -3)$.

2.

Чтобы выразить вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$, представим $\vec{MN}$ по правилу многоугольника: $\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN}$.
Выразим векторы $\vec{MC}$ и $\vec{CN}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
По свойствам параллелограмма ABCD имеем: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.
Из условия $BM = \frac{1}{3}BC$ следует, что $\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BC}$. Тогда вектор $\vec{MC}$ можно найти как разность векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BM}$:
$\vec{MC} = \vec{BC} - \vec{BM} = \vec{BC} - \frac{1}{3}\vec{BC} = \frac{2}{3}\vec{BC} = \frac{2}{3}\vec{b}$.
Из условия $CN = \frac{4}{5}CD$ следует, что $\vec{CN} = \frac{4}{5}\vec{CD}$. Так как $\vec{CD} = -\vec{a}$, получаем:
$\vec{CN} = \frac{4}{5}(-\vec{a}) = -\frac{4}{5}\vec{a}$.
Теперь подставим найденные выражения для $\vec{MC}$ и $\vec{CN}$:
$\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN} = \frac{2}{3}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a}$.
Ответ: $\vec{MN} = -\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$.

3.

Чтобы доказать, что точки B, K и M лежат на одной прямой, нужно показать коллинеарность векторов $\vec{BM}$ и $\vec{BK}$, то есть найти такое число $k$, для которого выполняется равенство $\vec{BM} = k \cdot \vec{BK}$.
В качестве базиса выберем векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Выразим векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BK}$ через базисные.
Найдем вектор $\vec{BM}$. По правилу вычитания векторов $\vec{BM} = \vec{AM} - \vec{AB}$.
По условию точка M делит сторону AD в отношении $AM : MD = 1 : 4$, следовательно, $\vec{AM} = \frac{1}{1+4}\vec{AD} = \frac{1}{5}\vec{AD} = \frac{1}{5}\vec{b}$.
Тогда $\vec{BM} = \frac{1}{5}\vec{b} - \vec{a}$.
Теперь найдем вектор $\vec{BK}$. По правилу вычитания векторов $\vec{BK} = \vec{AK} - \vec{AB}$.
По условию точка K делит диагональ AC в отношении $AK : KC = 1 : 5$, следовательно, $\vec{AK} = \frac{1}{1+5}\vec{AC} = \frac{1}{6}\vec{AC}$.
Диагональ параллелограмма $\vec{AC}$ равна сумме векторов-сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$ (поскольку $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$).
Таким образом, $\vec{AK} = \frac{1}{6}(\vec{a} + \vec{b})$.
Тогда $\vec{BK} = \frac{1}{6}(\vec{a} + \vec{b}) - \vec{a} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} - \vec{a} = -\frac{5}{6}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$.
Сравним полученные векторы $\vec{BM} = -\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$ и $\vec{BK} = -\frac{5}{6}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$.
Проверим, существует ли такое число $k$, что $\vec{BM} = k \cdot \vec{BK}$. Для этого приравняем соответствующие коэффициенты при базисных векторах:
$-1 = k \cdot (-\frac{5}{6})$
$\frac{1}{5} = k \cdot \frac{1}{6}$
Из первого уравнения находим $k = \frac{6}{5}$. Из второго уравнения также находим $k = \frac{6}{5}$.
Поскольку мы нашли такое число $k$, то векторы коллинеарны: $\vec{BM} = \frac{6}{5}\vec{BK}$.
Так как векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BK}$ коллинеарны и имеют общее начало (точку B), то точки B, K и M лежат на одной прямой.
Ответ: Точки B, K и M лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Самостоятельная работа № 17

Скалярное произведение векторов

1. Даны векторы $\vec{a}(3; -5)$ и $\vec{b}(x; 6)$. При каких значениях $x$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$. Найдите $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$.

3. На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 1 : 2$. Найдите косинус угла между прямыми $AC$ и $DM$.

1.

Даны векторы $\vec{a}(3; -5)$ и $\vec{b}(x; 6)$. Тип угла между векторами (острый, прямой, тупой) определяется знаком их скалярного произведения. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$.

Вычислим скалярное произведение данных векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot x + (-5) \cdot 6 = 3x - 30$.

1) острый

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.

$3x - 30 > 0$

$3x > 30$

$x > 10$

Ответ: при $x > 10$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

$3x - 30 = 0$

$3x = 30$

$x = 10$

Ответ: при $x = 10$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

$3x - 30 < 0$

$3x < 30$

$x < 10$

Ответ: при $x < 10$.

2.

Чтобы найти модуль (длину) вектора $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$, воспользуемся свойством скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Возведем модуль искомого вектора в квадрат:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$(2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}) = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим данные из условия: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Теперь подставим все известные значения в выражение для квадрата модуля:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 4 \cdot |\vec{a}|^2 - 12 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9 \cdot |\vec{b}|^2 = 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 9 \cdot 2^2$

$= 4 \cdot 9 - 36 + 9 \cdot 4 = 36 - 36 + 36 = 36$.

Следовательно, модуль вектора равен квадратному корню из этого значения:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}| = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6.

3.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина квадрата A совпадает с началом координат, а сторона AB лежит на оси Ox. Для удобства вычислений, чтобы избежать дробей, примем сторону квадрата равной $3$.

Тогда координаты вершин квадрата будут:

$A(0; 0)$, $B(3; 0)$, $C(3; 3)$, $D(0; 3)$.

Точка M лежит на стороне AB и делит ее в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Длина отрезка AB равна $3$. Следовательно, длина отрезка $AM = \frac{1}{1+2} \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$.

Координаты точки M будут $(1; 0)$.

Угол между прямыми AC и DM равен углу между их направляющими векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DM}$. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{AC} = C - A = (3 - 0; 3 - 0) = (3; 3)$.

$\vec{DM} = M - D = (1 - 0; 0 - 3) = (1; -3)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Применим эту формулу для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DM}$:

1. Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{DM} = (3)(1) + (3)(-3) = 3 - 9 = -6$.

2. Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

$|\vec{DM}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

3. Вычислим косинус угла между векторами:

$\cos(\theta) = \frac{-6}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-6}{3\sqrt{20}} = \frac{-2}{\sqrt{20}} = \frac{-2}{\sqrt{4 \cdot 5}} = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Угол между прямыми принято считать острым (или прямым), поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами.

Пусть $\phi$ - угол между прямыми, тогда:

$\cos(\phi) = |\cos(\theta)| = |-\frac{1}{\sqrt{5}}| = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.