Страница 13 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Прямая призма. Пирамида

1. Каждое ребро прямой четырёхугольной призмы равно 6 см, а один из углов основания — $30^\circ$. Найдите площадь поверхности призмы.

2. Основанием пирамиды является треугольник $ABC$, $AB = BC = 10$ см, $AC = 12$ см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 9 см.

3. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Основания этой трапеции равны 4 см и 16 см, а боковое ребро призмы равно 4 см. Найдите объём призмы.

1.

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ - площадь основания.

По условию, каждое ребро прямой четырехугольной призмы равно 6 см. Это означает, что все стороны основания равны 6 см, и высота призмы (равная боковому ребру) также равна 6 см. Основанием является ромб со стороной $a = 6$ см.

1. Найдем площадь основания. Площадь ромба можно найти по формуле $S = a^2 \sin \alpha$, где $a$ - сторона ромба, а $\alpha$ - угол между сторонами.
$S_{осн} = 6^2 \cdot \sin(30°) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности. Для прямой призмы $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания, $h$ - высота призмы.
Периметр ромба $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см.
Высота призмы $h = 6$ см.
$S_{бок} = 24 \cdot 6 = 144$ см².

3. Найдем площадь полной поверхности призмы.
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 144 + 2 \cdot 18 = 144 + 36 = 180$ см².

Ответ: 180 см².

2.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания. Основание — равнобедренный треугольник ABC со сторонами $AB = BC = 10$ см и основанием $AC = 12$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание $AC$ пополам: $AH = HC = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:
$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

3. Теперь найдем площадь треугольника ABC:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

4. Высота пирамиды дана по условию: $H = 9$ см. Вычислим объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 9 = 16 \cdot 9 = 144$ см³.

Ответ: 144 см³.

3.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота призмы.

1. Основание призмы - равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Основания трапеции $a = 16$ см и $b = 4$ см. Высота призмы равна ее боковому ребру, $H = 4$ см.

2. Найдем площадь трапеции. По свойству четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны. Для нашей равнобокой трапеции с боковыми сторонами $c$:
$a + b = c + c \implies 16 + 4 = 2c \implies 20 = 2c \implies c = 10$ см.

3. Чтобы найти площадь трапеции, нужна ее высота $h$. Проведем в трапеции две высоты из вершин меньшего основания к большему. Они отсекут от большего основания два равных отрезка. Длина каждого такого отрезка равна $\frac{a-b}{2} = \frac{16-4}{2} = 6$ см.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$, высотой трапеции $h$ и отрезком длиной 6 см. По теореме Пифагора:
$h = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

5. Найдем площадь основания (трапеции):
$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16+4}{2} \cdot 8 = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см².

6. Теперь вычислим объем призмы:
$V = S_{осн} \cdot H = 80 \cdot 4 = 320$ см³.

Ответ: 320 см³.

Самостоятельная работа № 25

Цилиндр. Конус. Шар

1. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а высота — 6 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра и его объём.

2. Высота конуса равна 15 см, а образующая — 17 см. Найдите объём конуса и площадь его боковой поверхности.

3. Объём шара уменьшили в 64 раза. Во сколько раз уменьшилась площадь его поверхности?

1.

Дано: радиус основания цилиндра $r = 4$ см, высота $h = 6$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$).

Площадь основания (круга): $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 = 48\pi$ см².

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 48\pi + 2 \cdot 16\pi = 48\pi + 32\pi = 80\pi$ см².

Объём цилиндра ($V$) вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$.

Подставим известные значения: $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = \pi \cdot 16 \cdot 6 = 96\pi$ см³.

Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна $80\pi$ см², объём равен $96\pi$ см³.

2.

Дано: высота конуса $h = 15$ см, образующая $l = 17$ см.

Для нахождения объёма и площади боковой поверхности нам нужен радиус основания ($r$). Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$

Отсюда найдём радиус: $r^2 = l^2 - h^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$ $r = \sqrt{64} = 8$ см.

Объём конуса ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим значения: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 15 = \pi \cdot 64 \cdot 5 = 320\pi$ см³.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$.

Подставим значения: $S_{бок} = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi$ см².

Ответ: объём конуса равен $320\pi$ см³, площадь его боковой поверхности равна $136\pi$ см².

3.

Формула объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара. Формула площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$.

Пусть $V_1$ и $R_1$ — первоначальные объём и радиус, а $V_2$ и $R_2$ — новые. По условию, объём уменьшился в 64 раза: $V_2 = \frac{V_1}{64}$.

Запишем это соотношение через радиусы: $\frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{1}{64} \cdot \left(\frac{4}{3}\pi R_1^3\right)$

Упростив, получаем: $R_2^3 = \frac{1}{64} R_1^3$

Извлечём кубический корень из обеих частей, чтобы найти, как изменился радиус: $R_2 = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} \cdot R_1 = \frac{1}{4} R_1$. Значит, радиус уменьшился в 4 раза.

Теперь найдём, как изменилась площадь поверхности. Пусть $S_1$ и $S_2$ — первоначальная и новая площади. Найдём их отношение: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2$.

Так как мы нашли, что $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{4}$, подставим это значение: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.

Это означает, что новая площадь в 16 раз меньше старой.

Ответ: площадь его поверхности уменьшилась в 16 раз.