Страница 12 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Центральная симметрия

1. Точки $A(-4; y)$ и $B(x; 3)$ симметричны относительно точки $K(5; -2)$. Найдите $x$ и $y$.

2. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $2x - 5y = -7$ относительно точки $K(-2; 1)$.

3. Даны парабола, окружность и точка. Постройте отрезок с серединой в данной точке, один из концов которого принадлежит данной параболе, а другой — данной окружности.

1.

Если точки $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ симметричны относительно точки $K(x_K; y_K)$, то точка $K$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$

В нашем случае даны точки $A(-4; y)$, $B(x; 3)$ и центр симметрии $K(5; -2)$. Подставим известные значения в формулы.

Для координаты $x$:

$5 = \frac{-4 + x}{2}$

$10 = -4 + x$

$x = 14$

Для координаты $y$:

$-2 = \frac{y + 3}{2}$

$-4 = y + 3$

$y = -7$

Таким образом, мы нашли искомые значения $x$ и $y$.

Ответ: $x = 14$, $y = -7$.

2.

Пусть дана прямая $L_1$ с уравнением $2x - 5y = -7$ и точка $K(-2; 1)$. Прямая $L_2$, симметричная прямой $L_1$ относительно точки $K$, будет ей параллельна (так как точка $K$ не лежит на прямой $L_1$, что можно проверить подстановкой: $2(-2) - 5(1) = -9 \neq -7$).

Возьмем произвольную точку $M(x; y)$, принадлежащую искомой прямой $L_2$. Точка $M'(x'; y')$, симметричная ей относительно точки $K$, должна принадлежать исходной прямой $L_1$. Координаты точки $M'$ можно выразить через координаты точек $M$ и $K$:

$x_K = \frac{x + x'}{2} \Rightarrow x' = 2x_K - x = 2(-2) - x = -4 - x$

$y_K = \frac{y + y'}{2} \Rightarrow y' = 2y_K - y = 2(1) - y = 2 - y$

Поскольку точка $M'(x'; y')$ лежит на прямой $L_1$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой:

$2x' - 5y' = -7$

Подставим в это уравнение выражения для $x'$ и $y'$:

$2(-4 - x) - 5(2 - y) = -7$

$-8 - 2x - 10 + 5y = -7$

$-2x + 5y - 18 = -7$

$-2x + 5y = 11$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы привести его к виду, схожему с исходным:

$2x - 5y = -11$

Это и есть уравнение искомой прямой $L_2$.

Ответ: $2x - 5y = -11$.

3.

Пусть даны парабола $P$, окружность $C$ и точка $M$. Требуется построить отрезок $AB$ такой, что точка $A$ лежит на параболе $P$, точка $B$ — на окружности $C$, а точка $M$ является его серединой.

Задача решается с помощью центральной симметрии. Если $M$ — середина $AB$, то точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $M$. Это означает, что точка $B$ является образом точки $A$ при центральной симметрии с центром в точке $M$.

Алгоритм построения:

1. Построить образ данной параболы $P$ при центральной симметрии относительно точки $M$. Назовем полученную фигуру $P'$. (Для построения $P'$ можно взять несколько ключевых точек на параболе $P$, построить их симметричные образы относительно $M$ и соединить их плавной кривой).
2. Найти точки пересечения построенной параболы $P'$ с данной окружностью $C$. Каждая такая точка пересечения является возможным положением конца отрезка, который лежит на окружности. Обозначим одну из таких точек как $B$. (Если пересечений нет, то задача не имеет решений).
3. Точка $B$ является одним из концов искомого отрезка. Она принадлежит окружности $C$.
4. Построить точку $A$, симметричную точке $B$ относительно точки $M$. Для этого нужно провести прямую через точки $B$ и $M$ и отложить на ней от точки $M$ отрезок $MA$, равный отрезку $MB$, так, чтобы $M$ находилась между $A$ и $B$.
5. Поскольку точка $B$ по построению лежит на симметричной параболе $P'$, то ее прообраз — точка $A$ — будет лежать на исходной параболе $P$.

Таким образом, построенный отрезок $AB$ удовлетворяет всем условиям задачи: один его конец ($A$) лежит на параболе, другой ($B$) — на окружности, а точка $M$ является его серединой.

Ответ: Описанный выше алгоритм является решением задачи на построение.

Самостоятельная работа № 22

Поворот

1. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 3). Постройте образ отрезка $AB$ при повороте на угол $45^\circ$ вокруг центра $O$ по часовой стрелке.

2. Образом точки $A (5; a)$ при повороте вокруг начала координат на угол $90^\circ$ против часовой стрелки является точка $B (-4; b)$. Найдите $a$ и $b$.

3. Даны прямая, окружность и точка $B$, которая лежит вне данной окружности и не принадлежит данной прямой. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник с вершиной в точке $B$ так, чтобы две другие его вершины принадлежали данной окружности и данной прямой.

1.

Для построения образа отрезка AB при повороте на 45° по часовой стрелке вокруг центра O необходимо повернуть его концы — точки A и B — на заданный угол, а затем соединить полученные образы.

• Построение образа точки A (точка A'):
  1. Соединяем точку O с точкой A отрезком OA.
  2. С помощью транспортира от луча OA откладываем угол 45° по часовой стрелке.
  3. На полученном новом луче с помощью циркуля откладываем отрезок OA', равный по длине отрезку OA. Точка A' является образом точки A.
• Построение образа точки B (точка B'):
  1. Соединяем точку O с точкой B отрезком OB.
  2. От луча OB откладываем угол 45° по часовой стрелке.
  3. На полученном новом луче откладываем отрезок OB', равный по длине отрезку OB. Точка B' является образом точки B.
• Построение образа отрезка AB:
  Соединяем точки A' и B' отрезком. Отрезок A'B' — искомый образ отрезка AB.

Если принять, что точка O — начало координат (0; 0), то точка A имеет координаты (1; 1), а точка B — (4; -1). После поворота на 45° по часовой стрелке их образы будут иметь координаты $A'(\sqrt{2}; 0)$ и $B'(\frac{3\sqrt{2}}{2}; -\frac{5\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Построение выполняется последовательным поворотом точек A и B вокруг точки O на заданный угол с последующим соединением их образов A' и B'.

2.

Формулы для координат точки $(x', y')$, полученной поворотом точки $(x, y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки, имеют вид:
$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$
$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

В нашем случае исходная точка — это $A(5; a)$, а её образ — $B(-4; b)$. Угол поворота $\alpha = 90°$.
Значения синуса и косинуса для этого угла:
$\cos(90^\circ) = 0$
$\sin(90^\circ) = 1$

Подставляем эти значения в формулы:
$x' = x \cdot 0 - y \cdot 1 = -y$
$y' = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$

Теперь подставим координаты точки A $(x=5, y=a)$ и точки B $(x'=-4, y'=b)$:
$-4 = -a$
$b = 5$

Из первого уравнения находим $a$:
$a = 4$

Таким образом, $a=4$ и $b=5$.

Ответ: a = 4, b = 5.

3.

Пусть даны прямая l, окружность c и точка B. Требуется построить равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где B — вершина прямого угла, вершина A лежит на прямой l, а вершина C — на окружности c.

Так как треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный с вершиной B, то $BA = BC$ и $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что точка A является образом точки C при повороте вокруг центра B на угол 90° (или -90°).

Это свойство лежит в основе построения, которое выполняется в несколько шагов (метод поворота):

1. Выберем направление поворота, например, на 90° против часовой стрелки вокруг точки B.
2. Поскольку точка C лежит на окружности c, её образ, точка A, должен лежать на образе окружности c при указанном повороте. Построим этот образ — окружность c'. Для этого достаточно повернуть центр исходной окружности c на 90° вокруг B, чтобы получить центр O' новой окружности c'. Радиус окружности c' будет равен радиусу окружности c.
3. По условию, точка A должна лежать на прямой l. Из шага 2 мы знаем, что она также должна лежать на окружности c'. Следовательно, искомая вершина A является точкой пересечения прямой l и построенной окружности c'. В зависимости от их взаимного расположения, может быть два, одно или ни одного решения. Выберем одну из точек пересечения и обозначим её A.
4. Теперь, когда вершина A найдена, мы можем найти вершину C. Поскольку A — это образ C при повороте на 90° против часовой стрелки, то C — это образ A при обратном повороте, то есть на 90° по часовой стрелке вокруг B. Выполняем это построение и находим точку C. По построению, она будет лежать на исходной окружности c.
5. Соединяем точки A, B и C. Треугольник ABC — искомый.

Примечание: выполнение поворота в другую сторону (на 90° по часовой стрелке) может дать другие решения задачи.

Ответ: Искомый треугольник строится методом поворота. Нужно повернуть данную окружность на 90° (в любую сторону) вокруг точки B, найти точку пересечения A полученной окружности с данной прямой, а затем найти третью вершину C обратным поворотом точки A вокруг B.

Самостоятельная работа № 23

Гомотетия. Подобие фигур

1. Стороны двух правильных треугольников относятся как 4 : 7, а площадь большего из них равна 98 см². Найдите площадь меньшего треугольника.

2. Отметьте точки A и B. Найдите такую точку O, чтобы точка B была образом точки A при гомотетии с центром O и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 2$;

2) $k = -\frac{1}{3}$.

3. Даны прямая a, точка M и окружность с центром в точке O (рис. 4). Через точку M проведите прямую, пересекающую окружность и прямую a в точках A и B соответственно так, чтобы $AM : MB = 2 : 3$.

Рис. 4

1.

Пусть стороны меньшего и большего правильных треугольников равны $a_1$ и $a_2$ соответственно, а их площади — $S_1$ и $S_2$. По условию, отношение сторон $a_1 : a_2 = 4 : 7$. Все правильные треугольники подобны. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ в данном случае равен отношению сторон: $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{7}$. Тогда отношение площадей равно: $\frac{S_1}{S_2} = k^2 = (\frac{4}{7})^2 = \frac{16}{49}$. Площадь большего треугольника $S_2 = 98$ см². Найдем площадь меньшего треугольника $S_1$: $S_1 = S_2 \cdot \frac{16}{49} = 98 \cdot \frac{16}{49}$. $S_1 = \frac{98}{49} \cdot 16 = 2 \cdot 16 = 32$ см².

Ответ: 32 см².

2.

По определению гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$, точка $B$ является образом точки $A$, если выполняется векторное равенство $\vec{OB} = k \cdot \vec{OA}$. Это означает, что точки $O, A, B$ лежат на одной прямой.

1) k = 2;

Векторное равенство имеет вид $\vec{OB} = 2 \cdot \vec{OA}$. Поскольку $k = 2 > 0$, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от центра гомотетии $O$ на прямой, проходящей через них. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ сонаправлены, а значит, точка $O$ не лежит между $A$ и $B$. Из равенства следует, что $|OB| = 2|OA|$. Так как $A$ лежит между $O$ и $B$, то $|OB| = |OA| + |AB|$. Подставив, получаем $|OA| + |AB| = 2|OA|$, откуда $|OA| = |AB|$. Таким образом, точка $A$ является серединой отрезка $OB$. Искомая точка $O$ находится на прямой $AB$ на продолжении отрезка $BA$ за точку $A$, на расстоянии, равном длине отрезка $AB$.

Ответ: Точка $O$ — такая точка на прямой $AB$, что $A$ является серединой отрезка $OB$.

2) k = -1/3.

Векторное равенство имеет вид $\vec{OB} = -\frac{1}{3} \cdot \vec{OA}$. Поскольку $k = -1/3 < 0$, центр гомотетии $O$ лежит между точками $A$ и $B$. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ противоположно направлены. Из равенства следует, что $|OB| = |-\frac{1}{3}| \cdot |OA| = \frac{1}{3}|OA|$. Это означает, что точка $O$ делит отрезок $AB$ в отношении $|AO|:|OB| = |OA| : (\frac{1}{3}|OA|) = 3:1$. Для нахождения точки $O$ нужно разделить отрезок $AB$ в отношении $3:1$, считая от точки $A$.

Ответ: Точка $O$ лежит на отрезке $AB$ и делит его в отношении $AO:OB = 3:1$.

3.

Искомая прямая проходит через точку $M$ и пересекает окружность в точке $A$ и прямую $a$ в точке $B$ так, что выполняется соотношение $AM : MB = 2 : 3$. Это означает, что отношение длин отрезков $|MB|/|MA| = 3/2$. Рассмотрим гомотетию с центром в точке $M$, которая преобразует точку $A$ в точку $B$. Коэффициент этой гомотетии $k$ по модулю равен $|k| = |MB|/|MA| = 3/2$. В зависимости от взаимного расположения точек $A, M, B$ на прямой возможны два случая:
1. Точка $M$ лежит между $A$ и $B$. Тогда векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ противоположно направлены, и коэффициент гомотетии $k_1 = -3/2$.
2. Точка $A$ лежит между $M$ и $B$. Тогда векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ сонаправлены, и коэффициент гомотетии $k_2 = 3/2$.

Задача решается методом гомотетии. Так как точка $A$ принадлежит данной окружности (назовем ее $\omega$), ее образ, точка $B$, должен принадлежать образу этой окружности, $\omega'$. По условию, точка $B$ также лежит на прямой $a$. Следовательно, искомая точка $B$ является точкой пересечения прямой $a$ и построенной окружности $\omega'$.

Алгоритм построения:
Пусть данная окружность $\omega$ имеет центр $O$ и радиус $R$.
Построение для случая $k_1 = -3/2$:
1) Находим образ центра $O$ — точку $O_1'$. Она лежит на прямой $MO$ на продолжении отрезка $OM$ за точку $M$, и $|MO_1'| = \frac{3}{2}|MO|$.
2) Вычисляем радиус образ-окружности $\omega_1'$: $R_1' = |k_1| \cdot R = \frac{3}{2}R$.
3) Строим окружность $\omega_1'$ с центром в $O_1'$ и радиусом $R_1'$.
4) Находим точки пересечения $B_i$ окружности $\omega_1'$ с прямой $a$. Если таких точек нет, то в данном случае решений нет. Если есть, то каждая из них (может быть одна или две) является искомой точкой $B$.
5) Проводим прямую через $M$ и каждую найденную точку $B_i$. Это и есть искомые прямые.

Построение для случая $k_2 = 3/2$:
1) Находим образ центра $O$ — точку $O_2'$. Она лежит на луче $MO$ так, что $|MO_2'| = \frac{3}{2}|MO|$.
2) Радиус образ-окружности $\omega_2'$ будет $R_2' = |k_2| \cdot R = \frac{3}{2}R$.
3) Строим окружность $\omega_2'$ с центром в $O_2'$ и радиусом $R_2'$.
4) Находим точки пересечения $B_j$ окружности $\omega_2'$ с прямой $a$.
5) Проводим прямые $MB_j$.

Ответ: Искомая прямая (или прямые) строится с помощью гомотетии. Необходимо построить образ данной окружности при гомотетии с центром $M$ и коэффициентами $k = -3/2$ и $k = 3/2$. Точки пересечения полученных окружностей-образов с прямой $a$ определяют искомые прямые, проходящие через эти точки и центр гомотетии $M$.