Номер 22, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Поворот

1. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 3). Постройте образ отрезка $AB$ при повороте на угол $45^\circ$ вокруг центра $O$ по часовой стрелке.

2. Образом точки $A (5; a)$ при повороте вокруг начала координат на угол $90^\circ$ против часовой стрелки является точка $B (-4; b)$. Найдите $a$ и $b$.

3. Даны прямая, окружность и точка $B$, которая лежит вне данной окружности и не принадлежит данной прямой. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник с вершиной в точке $B$ так, чтобы две другие его вершины принадлежали данной окружности и данной прямой.

1.

Для построения образа отрезка AB при повороте на 45° по часовой стрелке вокруг центра O необходимо повернуть его концы — точки A и B — на заданный угол, а затем соединить полученные образы.

• Построение образа точки A (точка A'):
  1. Соединяем точку O с точкой A отрезком OA.
  2. С помощью транспортира от луча OA откладываем угол 45° по часовой стрелке.
  3. На полученном новом луче с помощью циркуля откладываем отрезок OA', равный по длине отрезку OA. Точка A' является образом точки A.
• Построение образа точки B (точка B'):
  1. Соединяем точку O с точкой B отрезком OB.
  2. От луча OB откладываем угол 45° по часовой стрелке.
  3. На полученном новом луче откладываем отрезок OB', равный по длине отрезку OB. Точка B' является образом точки B.
• Построение образа отрезка AB:
  Соединяем точки A' и B' отрезком. Отрезок A'B' — искомый образ отрезка AB.

Если принять, что точка O — начало координат (0; 0), то точка A имеет координаты (1; 1), а точка B — (4; -1). После поворота на 45° по часовой стрелке их образы будут иметь координаты $A'(\sqrt{2}; 0)$ и $B'(\frac{3\sqrt{2}}{2}; -\frac{5\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Построение выполняется последовательным поворотом точек A и B вокруг точки O на заданный угол с последующим соединением их образов A' и B'.

2.

Формулы для координат точки $(x', y')$, полученной поворотом точки $(x, y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки, имеют вид:
$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$
$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

В нашем случае исходная точка — это $A(5; a)$, а её образ — $B(-4; b)$. Угол поворота $\alpha = 90°$.
Значения синуса и косинуса для этого угла:
$\cos(90^\circ) = 0$
$\sin(90^\circ) = 1$

Подставляем эти значения в формулы:
$x' = x \cdot 0 - y \cdot 1 = -y$
$y' = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$

Теперь подставим координаты точки A $(x=5, y=a)$ и точки B $(x'=-4, y'=b)$:
$-4 = -a$
$b = 5$

Из первого уравнения находим $a$:
$a = 4$

Таким образом, $a=4$ и $b=5$.

Ответ: a = 4, b = 5.

3.

Пусть даны прямая l, окружность c и точка B. Требуется построить равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где B — вершина прямого угла, вершина A лежит на прямой l, а вершина C — на окружности c.

Так как треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный с вершиной B, то $BA = BC$ и $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что точка A является образом точки C при повороте вокруг центра B на угол 90° (или -90°).

Это свойство лежит в основе построения, которое выполняется в несколько шагов (метод поворота):

1. Выберем направление поворота, например, на 90° против часовой стрелки вокруг точки B.
2. Поскольку точка C лежит на окружности c, её образ, точка A, должен лежать на образе окружности c при указанном повороте. Построим этот образ — окружность c'. Для этого достаточно повернуть центр исходной окружности c на 90° вокруг B, чтобы получить центр O' новой окружности c'. Радиус окружности c' будет равен радиусу окружности c.
3. По условию, точка A должна лежать на прямой l. Из шага 2 мы знаем, что она также должна лежать на окружности c'. Следовательно, искомая вершина A является точкой пересечения прямой l и построенной окружности c'. В зависимости от их взаимного расположения, может быть два, одно или ни одного решения. Выберем одну из точек пересечения и обозначим её A.
4. Теперь, когда вершина A найдена, мы можем найти вершину C. Поскольку A — это образ C при повороте на 90° против часовой стрелки, то C — это образ A при обратном повороте, то есть на 90° по часовой стрелке вокруг B. Выполняем это построение и находим точку C. По построению, она будет лежать на исходной окружности c.
5. Соединяем точки A, B и C. Треугольник ABC — искомый.

Примечание: выполнение поворота в другую сторону (на 90° по часовой стрелке) может дать другие решения задачи.

Ответ: Искомый треугольник строится методом поворота. Нужно повернуть данную окружность на 90° (в любую сторону) вокруг точки B, найти точку пересечения A полученной окружности с данной прямой, а затем найти третью вершину C обратным поворотом точки A вокруг B.