Номер 23, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 23

Гомотетия. Подобие фигур

1. Стороны двух правильных треугольников относятся как 4 : 7, а площадь большего из них равна 98 см². Найдите площадь меньшего треугольника.

2. Отметьте точки A и B. Найдите такую точку O, чтобы точка B была образом точки A при гомотетии с центром O и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 2$;

2) $k = -\frac{1}{3}$.

3. Даны прямая a, точка M и окружность с центром в точке O (рис. 4). Через точку M проведите прямую, пересекающую окружность и прямую a в точках A и B соответственно так, чтобы $AM : MB = 2 : 3$.

Рис. 4

1.

Пусть стороны меньшего и большего правильных треугольников равны $a_1$ и $a_2$ соответственно, а их площади — $S_1$ и $S_2$. По условию, отношение сторон $a_1 : a_2 = 4 : 7$. Все правильные треугольники подобны. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ в данном случае равен отношению сторон: $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{7}$. Тогда отношение площадей равно: $\frac{S_1}{S_2} = k^2 = (\frac{4}{7})^2 = \frac{16}{49}$. Площадь большего треугольника $S_2 = 98$ см². Найдем площадь меньшего треугольника $S_1$: $S_1 = S_2 \cdot \frac{16}{49} = 98 \cdot \frac{16}{49}$. $S_1 = \frac{98}{49} \cdot 16 = 2 \cdot 16 = 32$ см².

Ответ: 32 см².

2.

По определению гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$, точка $B$ является образом точки $A$, если выполняется векторное равенство $\vec{OB} = k \cdot \vec{OA}$. Это означает, что точки $O, A, B$ лежат на одной прямой.

1) k = 2;

Векторное равенство имеет вид $\vec{OB} = 2 \cdot \vec{OA}$. Поскольку $k = 2 > 0$, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от центра гомотетии $O$ на прямой, проходящей через них. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ сонаправлены, а значит, точка $O$ не лежит между $A$ и $B$. Из равенства следует, что $|OB| = 2|OA|$. Так как $A$ лежит между $O$ и $B$, то $|OB| = |OA| + |AB|$. Подставив, получаем $|OA| + |AB| = 2|OA|$, откуда $|OA| = |AB|$. Таким образом, точка $A$ является серединой отрезка $OB$. Искомая точка $O$ находится на прямой $AB$ на продолжении отрезка $BA$ за точку $A$, на расстоянии, равном длине отрезка $AB$.

Ответ: Точка $O$ — такая точка на прямой $AB$, что $A$ является серединой отрезка $OB$.

2) k = -1/3.

Векторное равенство имеет вид $\vec{OB} = -\frac{1}{3} \cdot \vec{OA}$. Поскольку $k = -1/3 < 0$, центр гомотетии $O$ лежит между точками $A$ и $B$. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ противоположно направлены. Из равенства следует, что $|OB| = |-\frac{1}{3}| \cdot |OA| = \frac{1}{3}|OA|$. Это означает, что точка $O$ делит отрезок $AB$ в отношении $|AO|:|OB| = |OA| : (\frac{1}{3}|OA|) = 3:1$. Для нахождения точки $O$ нужно разделить отрезок $AB$ в отношении $3:1$, считая от точки $A$.

Ответ: Точка $O$ лежит на отрезке $AB$ и делит его в отношении $AO:OB = 3:1$.

3.

Искомая прямая проходит через точку $M$ и пересекает окружность в точке $A$ и прямую $a$ в точке $B$ так, что выполняется соотношение $AM : MB = 2 : 3$. Это означает, что отношение длин отрезков $|MB|/|MA| = 3/2$. Рассмотрим гомотетию с центром в точке $M$, которая преобразует точку $A$ в точку $B$. Коэффициент этой гомотетии $k$ по модулю равен $|k| = |MB|/|MA| = 3/2$. В зависимости от взаимного расположения точек $A, M, B$ на прямой возможны два случая:
1. Точка $M$ лежит между $A$ и $B$. Тогда векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ противоположно направлены, и коэффициент гомотетии $k_1 = -3/2$.
2. Точка $A$ лежит между $M$ и $B$. Тогда векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ сонаправлены, и коэффициент гомотетии $k_2 = 3/2$.

Задача решается методом гомотетии. Так как точка $A$ принадлежит данной окружности (назовем ее $\omega$), ее образ, точка $B$, должен принадлежать образу этой окружности, $\omega'$. По условию, точка $B$ также лежит на прямой $a$. Следовательно, искомая точка $B$ является точкой пересечения прямой $a$ и построенной окружности $\omega'$.

Алгоритм построения:
Пусть данная окружность $\omega$ имеет центр $O$ и радиус $R$.
Построение для случая $k_1 = -3/2$:
1) Находим образ центра $O$ — точку $O_1'$. Она лежит на прямой $MO$ на продолжении отрезка $OM$ за точку $M$, и $|MO_1'| = \frac{3}{2}|MO|$.
2) Вычисляем радиус образ-окружности $\omega_1'$: $R_1' = |k_1| \cdot R = \frac{3}{2}R$.
3) Строим окружность $\omega_1'$ с центром в $O_1'$ и радиусом $R_1'$.
4) Находим точки пересечения $B_i$ окружности $\omega_1'$ с прямой $a$. Если таких точек нет, то в данном случае решений нет. Если есть, то каждая из них (может быть одна или две) является искомой точкой $B$.
5) Проводим прямую через $M$ и каждую найденную точку $B_i$. Это и есть искомые прямые.

Построение для случая $k_2 = 3/2$:
1) Находим образ центра $O$ — точку $O_2'$. Она лежит на луче $MO$ так, что $|MO_2'| = \frac{3}{2}|MO|$.
2) Радиус образ-окружности $\omega_2'$ будет $R_2' = |k_2| \cdot R = \frac{3}{2}R$.
3) Строим окружность $\omega_2'$ с центром в $O_2'$ и радиусом $R_2'$.
4) Находим точки пересечения $B_j$ окружности $\omega_2'$ с прямой $a$.
5) Проводим прямые $MB_j$.

Ответ: Искомая прямая (или прямые) строится с помощью гомотетии. Необходимо построить образ данной окружности при гомотетии с центром $M$ и коэффициентами $k = -3/2$ и $k = 3/2$. Точки пересечения полученных окружностей-образов с прямой $a$ определяют искомые прямые, проходящие через эти точки и центр гомотетии $M$.