Номер 19, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Движение. Параллельный перенос

1. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки A $(3; 1)$ будет точка B $(-1; 4)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки B будет точка A.

2. Выполнили параллельный перенос прямой $2x + 3y = 6$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку B $(-1; 4)$.

3. Даны две окружности и отрезок $AB$. Постройте отрезок, равный и параллельный отрезку $AB$, так, чтобы его концы принадлежали двум данным окружностям.

1.

Пусть параллельный перенос задается вектором $\vec{p} = (a; b)$. При таком переносе точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x+a; y+b)$.

Найдем вектор, при параллельном переносе на который точка $A(3; 1)$ переходит в точку $B(-1; 4)$.
Обозначим этот вектор как $\vec{p_1} = (a_1; b_1)$. Координаты этого вектора равны разности координат конца и начала, то есть $\vec{p_1} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.
$a_1 = -1 - 3 = -4$
$b_1 = 4 - 1 = 3$
Таким образом, искомый вектор $\vec{p_1} = (-4; 3)$.

Теперь найдем вектор, при параллельном переносе на который точка $B(-1; 4)$ переходит в точку $A(3; 1)$.
Обозначим этот вектор как $\vec{p_2} = (a_2; b_2)$. Этот вектор равен $\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B)$.
$a_2 = 3 - (-1) = 4$
$b_2 = 1 - 4 = -3$
Таким образом, искомый вектор $\vec{p_2} = (4; -3)$. Заметим, что $\vec{p_2} = -\vec{p_1}$.

Ответ: Вектор для переноса $A \to B$ это $(-4; 3)$. Вектор для переноса $B \to A$ это $(4; -3)$.

2.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. Уравнение прямой, параллельной данной прямой $2x + 3y = 6$, имеет вид $2x + 3y = C$, где $C$ — некоторая константа.

По условию, полученная в результате переноса прямая проходит через точку $B(-1; 4)$. Чтобы найти значение $C$, подставим координаты этой точки в уравнение искомой прямой:
$2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = C$
$-2 + 12 = C$
$C = 10$

Следовательно, уравнение полученной прямой: $2x + 3y = 10$.

Ответ: $2x + 3y = 10$.

3.

Пусть даны две окружности $\omega_1$ (с центром $O_1$) и $\omega_2$ (с центром $O_2$) и отрезок $AB$. Требуется построить отрезок $CD$, равный и параллельный отрезку $AB$, так, чтобы точка $C$ принадлежала окружности $\omega_1$, а точка $D$ — окружности $\omega_2$.

Равенство и параллельность отрезков $CD$ и $AB$ означает, что векторы $\vec{CD}$ и $\vec{AB}$ равны (или $\vec{CD} = \vec{BA}$). Рассмотрим случай, когда $\vec{CD} = \vec{AB}$.
Это условие означает, что точка $D$ является образом точки $C$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v} = \vec{AB}$.

Поскольку точка $C$ лежит на окружности $\omega_1$, ее образ, точка $D$, должна лежать на образе окружности $\omega_1$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v}$. Обозначим этот образ $\omega_1'$. Окружность $\omega_1'$ имеет тот же радиус, что и $\omega_1$, а ее центр $O_1'$ является образом центра $O_1$ при переносе на вектор $\vec{v}$, то есть $\vec{O_1O_1'} = \vec{v} = \vec{AB}$.

Таким образом, точка $D$ должна одновременно принадлежать окружности $\omega_2$ (по условию) и окружности $\omega_1'$ (как образ точки с $\omega_1$). Следовательно, точка $D$ является точкой пересечения этих двух окружностей.

Алгоритм построения:
1. Строим вектор $\vec{v}$, равный вектору $\vec{AB}$.
2. Выполняем параллельный перенос центра $O_1$ первой окружности на вектор $\vec{v}$, получая точку $O_1'$. Для этого можно отложить от точки $O_1$ вектор, равный $\vec{AB}$.
3. Строим окружность $\omega_1'$ с центром в точке $O_1'$ и радиусом, равным радиусу окружности $\omega_1$.
4. Находим точку (или точки) пересечения окружности $\omega_1'$ и окружности $\omega_2$. Обозначим одну из таких точек буквой $D$. Это будет один из концов искомого отрезка.
5. Чтобы найти второй конец отрезка, точку $C$, выполняем параллельный перенос точки $D$ на вектор, противоположный вектору $\vec{v}$, то есть на вектор $-\vec{v} = \vec{BA}$. Полученная точка $C$ будет лежать на исходной окружности $\omega_1$.
6. Соединяем точки $C$ и $D$. Отрезок $CD$ — искомый.
Примечание: В зависимости от взаимного расположения окружностей и длины отрезка, задача может иметь от 0 до 4 решений (так как можно было рассмотреть и перенос на вектор $\vec{BA}$).

Ответ: Построение выполняется путем параллельного переноса одной из окружностей на вектор, заданный отрезком $AB$, нахождения точек пересечения перенесенной окружности со второй окружностью и последующего нахождения прообразов этих точек на первой окружности.