Номер 1, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2

Самостоятельная работа № 1

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

1. Найдите значение выражения:

1) $\cos 120^\circ \sin 135^\circ \cot 150^\circ$

2) $4\tan^2 120^\circ + 4\sin^2 120^\circ - 3\cos 90^\circ \cot 100^\circ$

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $\frac{\cos 123^\circ}{\cos 57^\circ} - \frac{\tan 141^\circ}{\tan 39^\circ}$

2) $\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} + \frac{\cot 103^\circ}{\cot 77^\circ}$

3. Найдите:

1) $\cot \alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{1}{5}$

2) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{5}{6}$

1. Найдите значение выражения:

1) $cos120° \cdot sin135° \cdot ctg150°$

Для решения воспользуемся формулами приведения и значениями тригонометрических функций для стандартных углов.

$cos120° = cos(180° - 60°) = -cos60° = -\frac{1}{2}$

$sin135° = sin(180° - 45°) = sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$ctg150° = ctg(180° - 30°) = -ctg30° = -\sqrt{3}$

Теперь перемножим полученные значения:

$cos120° \cdot sin135° \cdot ctg150° = (-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

2) $4tg^2120° + 4sin^2120° - 3cos90° \cdot ctg100°$

Найдем значения для каждого члена выражения:

$tg120° = tg(180° - 60°) = -tg60° = -\sqrt{3}$, следовательно $tg^2120° = (-\sqrt{3})^2 = 3$.

$sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $sin^2120° = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

$cos90° = 0$.

Подставим значения в исходное выражение:

$4 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{3}{4} - 3 \cdot 0 \cdot ctg100° = 12 + 3 - 0 = 15$.

Ответ: $15$.

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $\frac{cos123°}{cos57°} - \frac{tg141°}{tg39°}$

Применим формулы приведения $cos(180° - \alpha) = -cos\alpha$ и $tg(180° - \alpha) = -tg\alpha$:

$cos123° = cos(180° - 57°) = -cos57°$

$tg141° = tg(180° - 39°) = -tg39°$

Подставим преобразованные значения в выражение:

$\frac{-cos57°}{cos57°} - \frac{-tg39°}{tg39°} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$

Ответ: $0$.

2) $\frac{sin18°}{sin162°} + \frac{ctg103°}{ctg77°}$

Применим формулы приведения $sin(180° - \alpha) = sin\alpha$ и $ctg(180° - \alpha) = -ctg\alpha$:

$sin162° = sin(180° - 18°) = sin18°$

$ctg103° = ctg(180° - 77°) = -ctg77°$

Подставим преобразованные значения в выражение:

$\frac{sin18°}{sin18°} + \frac{-ctg77°}{ctg77°} = 1 + (-1) = 1 - 1 = 0$

Ответ: $0$.

3. Найдите:

1) $ctg \alpha$, если $cos \alpha = -\frac{1}{5}$

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0°$ до $180°$. Так как $cos \alpha < 0$, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($90° < \alpha < 180°$). В этой четверти $sin \alpha > 0$ и $ctg \alpha < 0$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, чтобы найти $sin \alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$.

Так как $sin \alpha > 0$, то $sin \alpha = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Теперь найдем $ctg \alpha$ по формуле $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$:

$ctg \alpha = \frac{-1/5}{2\sqrt{6}/5} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot (\sqrt{6})^2} = -\frac{\sqrt{6}}{12}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{12}$.

2) $cos \alpha$, если $sin \alpha = \frac{5}{6}$

По условию, $0° \le \alpha \le 180°$. Так как $sin \alpha = \frac{5}{6} > 0$, угол $\alpha$ может находиться как в первой четверти ($0° < \alpha < 90°$, где $cos \alpha > 0$), так и во второй ($90° < \alpha < 180°$, где $cos \alpha < 0$).

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36-25}{36} = \frac{11}{36}$.

Отсюда $cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{11}{36}} = \pm\frac{\sqrt{11}}{6}$.

Оба значения возможны в заданном диапазоне углов.

Ответ: $\frac{\sqrt{11}}{6}$ или $-\frac{\sqrt{11}}{6}$.