Номер 20, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 20

Осевая симметрия

1. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии отрезка $AB$?

2. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(4; -3)$.

3. Даны точки $A (2; -3)$ и $B (4; 1)$. Точка $Y$ принадлежит оси ординат. Найдите наименьшее значение выражения $AY + BY$.

1. Прямая m является осью симметрии отрезка AB в том случае, если она является серединным перпендикуляром к этому отрезку. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия:

1. Прямая m перпендикулярна отрезку AB.
2. Прямая m проходит через середину отрезка AB.

Ответ: Прямая m является осью симметрии отрезка AB, если она перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

2. По условию, диагонали ромба лежат на координатных осях. Это означает, что центр ромба находится в начале координат (0; 0), а его вершины симметрично расположены на осях Ox и Oy. Обозначим координаты вершин как (a; 0), (-a; 0), (0; b) и (0; -b), где a > 0 и b > 0.

Возьмем одну из сторон ромба, например, ту, что лежит в IV координатной четверти. Ее вершины имеют координаты (a; 0) и (0; -b). Найдем координаты середины M этой стороны по формуле середины отрезка: $M = \left( \frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2} \right)$.

$M = \left( \frac{a+0}{2}; \frac{0+(-b)}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}; -\frac{b}{2} \right)$.

В условии сказано, что середина одной из сторон имеет координаты (4; -3). Сопоставим эти данные с полученными нами координатами:

$\frac{a}{2} = 4 \implies a = 8$.

$-\frac{b}{2} = -3 \implies b = 6$.

Теперь, зная значения a и b, мы можем определить координаты всех вершин ромба:

• Вершины на оси Ox: (8; 0) и (-8; 0).
• Вершины на оси Oy: (0; 6) и (0; -6).

Ответ: Координаты вершин ромба: (8; 0), (-8; 0), (0; 6), (0; -6).

3. Даны точки A(2; -3) и B(4; 1). Точка Y принадлежит оси ординат (оси Oy), поэтому ее абсцисса равна нулю, а ее координаты имеют вид Y(0; y). Нам нужно найти наименьшее значение суммы расстояний AY + BY.

Точки A и B расположены по одну сторону от оси Oy, так как их абсциссы (2 и 4) положительны. Для решения этой задачи используется свойство осевой симметрии.

Найдем координаты точки A', симметричной точке A относительно оси ординат. При симметрии относительно оси Oy координата x меняет знак, а y остается прежней. Таким образом, точка A' имеет координаты (-2; -3).

По свойству симметрии, расстояние от любой точки на оси симметрии до симметричных точек одинаково, то есть AY = A'Y для любой точки Y на оси Oy. Поэтому сумму AY + BY можно заменить на равную ей сумму A'Y + BY.

Сумма длин двух отрезков A'Y и BY будет наименьшей, когда точки A', Y и B лежат на одной прямой (согласно неравенству треугольника). В этом случае наименьшее значение суммы A'Y + BY равно длине отрезка A'B.

Вычислим расстояние между точками A'(-2; -3) и B(4; 1), используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:

$A'B = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(4+2)^2 + (1+3)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.

Таким образом, наименьшее значение выражения AY + BY равно 10.

Ответ: 10.