Номер 18, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Преобразование (отображение) фигур

1. Преобразование $f$ треугольника $ABC$ таково, что $f(A) = B, f(B) = C, f(C) = A$, а для любой точки $X$ треугольника $ABC$, отличной от точек $A, B$ и $C$, выполняется равенство $f(X) = X$. Является ли преобразование $f$ тождественным?

2. Опишите какое-нибудь преобразование фигуры, состоящей из всех точек сторон треугольника, при котором её образом является окружность, вписанная в данный треугольник.

3. Каждой точке графика функции $y = x^2$ ставится в соответствие её проекция на:

1) ось абсцисс;

2) ось ординат.

Является ли данное преобразование обратимым?

1. Тождественным называется преобразование, при котором каждая точка фигуры отображается сама в себя. То есть, для любой точки $X$ фигуры должно выполняться равенство $f(X) = X$.
В условии задачи дано преобразование $f$, для которого $f(A) = B$. Так как $A \neq B$, то точка $A$ не отображается сама в себя. Этого уже достаточно, чтобы утверждать, что преобразование $f$ не является тождественным. Аналогично, $f(B) = C \neq B$ и $f(C) = A \neq C$.
Ответ: нет, преобразование $f$ не является тождественным.

2. Фигура, состоящая из всех точек сторон треугольника, – это его периметр. Чтобы отобразить периметр треугольника на вписанную в него окружность, можно использовать центральное проектирование.
Центром этого проектирования будет центр вписанной окружности (инцентр), обозначим его точкой $I$.
Правило преобразования: каждой точке $P$, лежащей на стороне треугольника, ставится в соответствие точка $P'$, которая является точкой пересечения отрезка $IP$ с вписанной окружностью.
При таком преобразовании каждая точка периметра треугольника однозначно отобразится в точку на вписанной окружности, и образом всего периметра будет вся вписанная окружность.
Ответ: преобразование представляет собой центральное проектирование периметра треугольника на вписанную окружность из ее центра.

3. Преобразование является обратимым, если оно взаимно однозначно, то есть разным точкам исходной фигуры соответствуют разные точки-образы, и для каждой точки-образа существует единственная исходная точка (прообраз). Точка на графике функции $y=x^2$ имеет координаты $(x, x^2)$.
1) ось абсцисс
При проекции на ось абсцисс (ось $Ox$) точка с координатами $(x, x^2)$ переходит в точку с координатами $(x, 0)$.
Рассмотрим две разные точки на параболе: $M_1(x_1, x_1^2)$ и $M_2(x_2, x_2^2)$, где $x_1 \neq x_2$. Их проекции на ось абсцисс — это точки $M'_1(x_1, 0)$ и $M'_2(x_2, 0)$. Так как $x_1 \neq x_2$, то и точки-проекции $M'_1$ и $M'_2$ различны.
Таким образом, разным точкам параболы соответствуют разные точки на оси абсцисс. Каждой точке $(x, 0)$ на оси абсцисс соответствует ровно одна точка-прообраз $(x, x^2)$ на параболе. Следовательно, это преобразование является обратимым.
Ответ: да, является обратимым.
2) ось ординат
При проекции на ось ординат (ось $Oy$) точка с координатами $(x, x^2)$ переходит в точку с координатами $(0, x^2)$.
Рассмотрим две разные точки на параболе, симметричные относительно оси ординат, например, $M_1(2, 4)$ и $M_2(-2, 4)$. Их проекции на ось ординат совпадают: точка $M_1(2, 4)$ переходит в точку $(0, 4)$, и точка $M_2(-2, 4)$ также переходит в точку $(0, 4)$.
В общем случае, для любого $x \neq 0$ две различные точки $(x, x^2)$ и $(-x, x^2)$ отображаются в одну и ту же точку $(0, x^2)$. Так как одной точке-образу соответствует более одной точки-прообраза, данное преобразование не является взаимно однозначным, а значит, не является обратимым.
Ответ: нет, не является обратимым.