Номер 15, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Сложение и вычитание векторов

1. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC};$

2) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD};$

3) $\vec{BC} + \vec{DA} - \vec{DC} - \vec{BA}.$

2. Даны точки A (4; 1) и B (−2; −3). Найдите координаты точки C такой, что $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}.$

3. Найдите геометрическое место точек X таких, что $|\vec{AX} - \vec{XB}| = 8$, если $|\vec{AB}| = 2.$

1.

Поскольку четырёхугольник ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что соответствующие им векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$.

1) $\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC}$
Используем свойство параллелограмма $\vec{DC} = \vec{AB}$. Подставим это в выражение:
$\vec{AB} - \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{0} + \vec{BC} = \vec{BC}$.
Ответ: $\vec{BC}$.

2) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD}$
Сгруппируем слагаемые: $(\vec{AB} + \vec{AD}) - \vec{AC}$.
По правилу параллелограмма для сложения векторов, выходящих из одной вершины, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Подставим это в наше выражение:
$\vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$.

3) $\vec{BC} + \vec{DA} - \vec{DC} - \vec{BA}$
Заменим вычитание на сложение с противоположным вектором: $\vec{BC} + \vec{DA} + \vec{CD} + \vec{AB}$.
Переставим векторы для удобства сложения по правилу многоугольника (правилу цепи):
$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA}$.
Эта сумма представляет собой путь по замкнутому контуру из точки A в точку A, поэтому результат — нулевой вектор.
$(\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{CD} + \vec{DA}) = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$.

2.

Пусть искомая точка C имеет координаты $(x_C; y_C)$. Координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ вычисляются следующим образом:
$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (4 - x_C; 1 - y_C)$
$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (-2 - x_C; -3 - y_C)$
По условию $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$. Сумма векторов в координатах:
$\vec{CA} + \vec{CB} = ((4 - x_C) + (-2 - x_C); (1 - y_C) + (-3 - y_C)) = (2 - 2x_C; -2 - 2y_C)$.
Так как эта сумма равна нулевому вектору $\vec{0} = (0; 0)$, приравниваем соответствующие координаты к нулю:
$2 - 2x_C = 0 \implies 2x_C = 2 \implies x_C = 1$
$-2 - 2y_C = 0 \implies 2y_C = -2 \implies y_C = -1$
Таким образом, точка C имеет координаты (1; -1). Отметим, что условие $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$ означает, что C — середина отрезка AB.
Ответ: $C(1; -1)$.

3.

Требуется найти геометрическое место точек X, для которых выполняется равенство $|\vec{AX} - \vec{XB}| = 8$.
Преобразуем векторное выражение $\vec{AX} - \vec{XB}$. Пусть M — середина отрезка AB. Выразим векторы, входящие в выражение, через точку M по правилу треугольника:
$\vec{AX} = \vec{AM} + \vec{MX}$
$\vec{XB} = \vec{XM} + \vec{MB}$
Подставим это в исходное выражение:
$\vec{AX} - \vec{XB} = (\vec{AM} + \vec{MX}) - (\vec{XM} + \vec{MB})$
Учитывая, что $\vec{XM} = -\vec{MX}$, получаем:
$\vec{AM} + \vec{MX} - (-\vec{MX}) - \vec{MB} = \vec{AM} + 2\vec{MX} - \vec{MB}$
Поскольку M — середина отрезка AB, то $\vec{AM} = \vec{MB}$. Заменим $\vec{MB}$ на $\vec{AM}$:
$\vec{AM} + 2\vec{MX} - \vec{AM} = 2\vec{MX}$
Таким образом, исходное равенство принимает вид:
$|2\vec{MX}| = 8$
$2|\vec{MX}| = 8$
$|\vec{MX}| = 4$
Это уравнение означает, что расстояние от точки X до точки M (середины отрезка AB) постоянно и равно 4. Геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки, является окружностью.
Ответ: Окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом 4.