Номер 11, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей

через две данные точки

1. Составьте уравнение прямой, которая проходит через

точку $K (-2; 5)$ и:

1) параллельна прямой $y = 4x - 2$;

2) образует с положительным направлением оси абсцисс

угол $45^\circ$.

2. Найдите расстояние от точки $A (4; -1)$ до прямой

$3x - 4y = 4$.

3. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точки $A (2; 0)$ и $B (0; 4)$ и центр которой принадлежит прямой $3x - y = 6$.

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 4x - 2$ равен $k=4$. Следовательно, искомая прямая также имеет угловой коэффициент $k=4$, и её уравнение имеет вид $y = 4x + b$. Так как прямая проходит через точку $K(-2; 5)$, подставим её координаты в уравнение, чтобы найти $b$: $5 = 4(-2) + b$. Отсюда $5 = -8 + b$, и $b = 13$. Уравнение искомой прямой: $y = 4x + 13$.
Ответ: $y = 4x + 13$.

2) Угловой коэффициент $k$ прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$. По условию, $\alpha = 45°$. Тогда $k = \tan(45°) = 1$. Уравнение прямой имеет вид $y = 1 \cdot x + b$ или $y = x + b$. Так как прямая проходит через точку $K(-2; 5)$, подставим её координаты в уравнение: $5 = -2 + b$. Отсюда $b = 7$. Уравнение искомой прямой: $y = x + 7$.
Ответ: $y = x + 7$.

2. Для нахождения расстояния от точки $A(x_0; y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, используется формула: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Приведем уравнение прямой $3x - 4y = 4$ к общему виду: $3x - 4y - 4 = 0$. В этом уравнении $A=3$, $B=-4$, $C=-4$. Координаты точки $A(4; -1)$, то есть $x_0=4$, $y_0=-1$. Подставим эти значения в формулу: $d = \frac{|3 \cdot 4 + (-4) \cdot (-1) - 4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12 + 4 - 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|12|}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2.4$.
Ответ: $2.4$.

3. Уравнение окружности с центром в точке $C(x_c; y_c)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$. Так как окружность проходит через точки $A(2; 0)$ и $B(0; 4)$, её центр $C(x_c; y_c)$ равноудален от этих точек, то есть $CA = CB$, или $CA^2 = CB^2$. Запишем это условие в координатах: $(x_c - 2)^2 + (y_c - 0)^2 = (x_c - 0)^2 + (y_c - 4)^2$. Раскроем скобки и упростим: $x_c^2 - 4x_c + 4 + y_c^2 = x_c^2 + y_c^2 - 8y_c + 16$. Отсюда $-4x_c + 4 = -8y_c + 16$, что приводит к уравнению $8y_c - 4x_c = 12$, или $2y_c - x_c = 3$. По условию, центр окружности принадлежит прямой $3x - y = 6$, значит, его координаты удовлетворяют этому уравнению: $3x_c - y_c = 6$. Решим систему из двух уравнений: $\begin{cases} -x_c + 2y_c = 3 \\ 3x_c - y_c = 6 \end{cases}$. Из второго уравнения выразим $y_c = 3x_c - 6$ и подставим в первое: $-x_c + 2(3x_c - 6) = 3$. Получаем $-x_c + 6x_c - 12 = 3$, откуда $5x_c = 15$ и $x_c = 3$. Тогда $y_c = 3(3) - 6 = 3$. Центр окружности — точка $C(3; 3)$. Теперь найдем квадрат радиуса как квадрат расстояния от центра до точки $A$: $R^2 = CA^2 = (2 - 3)^2 + (0 - 3)^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$. Итоговое уравнение окружности: $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 10$.
Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 10$.