Номер 5, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Формулы для нахождения площади треугольника

1. На сторонах угла А отложены отрезки $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $AD = 6$ см и $DE = 2$ см (рис. 2). Найдите отношение площадей треугольника $ABD$ и четырёх-угольника $BCED$.

2. Медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AM = 18$ см, $CK = 15$ см, $\angle AOC = 120^\circ$.

3. Основания трапеции равны 7 см и 8 см, а диагонали — 13 см и 4 см. Найдите площадь трапеции.

1.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Обозначим угол $\angle A$ как $\alpha$.

Сначала найдём длины сторон $AC$ и $AE$ из данных на рисунке:

$AC = AB + BC = 4 + 5 = 9$ см.

$AE = AD + DE = 6 + 2 = 8$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника ABD ($S_{ABD}$):

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin \alpha = 12 \sin \alpha$.

Площадь большего треугольника ACE ($S_{ACE}$) равна:

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AE \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot \sin \alpha = 36 \sin \alpha$.

Площадь четырёхугольника BCED ($S_{BCED}$) можно найти как разность площадей треугольников ACE и ABD:

$S_{BCED} = S_{ACE} - S_{ABD} = 36 \sin \alpha - 12 \sin \alpha = 24 \sin \alpha$.

Найдём искомое отношение площадей:

$\frac{S_{ABD}}{S_{BCED}} = \frac{12 \sin \alpha}{24 \sin \alpha} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2.

Известно, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть O — точка пересечения медиан AM и CK.

Исходя из этого свойства, найдём длины отрезков AO и CO:

$AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ см.

$CO = \frac{2}{3} CK = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.

Площадь треугольника AOC ($S_{AOC}$) найдём по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot \sin(\angle AOC)$.

По условию $\angle AOC = 120^\circ$. Значение синуса этого угла: $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$ см².

Медиана AM делит треугольник ABC на два треугольника равной площади: $S_{AMC} = S_{AMB}$. Следовательно, $S_{ABC} = 2 \cdot S_{AMC}$.

Площадь треугольника AMC, в свою очередь, складывается из площадей треугольников AOC и MOC. Так как эти треугольники имеют общую высоту из вершины C к прямой AM, их площади относятся как длины оснований AO и OM:

$\frac{S_{AOC}}{S_{MOC}} = \frac{AO}{OM} = \frac{2/3 \cdot AM}{1/3 \cdot AM} = 2$.

Отсюда находим площадь $S_{MOC}$:

$S_{MOC} = \frac{S_{AOC}}{2} = \frac{30\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ см².

Теперь найдём площадь треугольника AMC:

$S_{AMC} = S_{AOC} + S_{MOC} = 30\sqrt{3} + 15\sqrt{3} = 45\sqrt{3}$ см².

И, наконец, площадь всего треугольника ABC:

$S_{ABC} = 2 \cdot S_{AMC} = 2 \cdot 45\sqrt{3} = 90\sqrt{3}$ см².

Ответ: $90\sqrt{3}$ см².

3.

Для нахождения площади трапеции по известным основаниям и диагоналям удобно использовать метод построения вспомогательного треугольника. Пусть дана трапеция ABCD с основаниями $a = 8$ см и $b = 7$ см, и диагоналями $d_1 = 13$ см и $d_2 = 4$ см.

Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до её пересечения с продолжением основания AD в точке E. В результате получим четырёхугольник BCED, который является параллелограммом (так как $BC \parallel DE$ и $CE \parallel BD$). Из этого следует, что $DE = BC = 7$ см, а $CE = BD = 4$ см.

В результате построения мы получили треугольник ACE со сторонами: $AC = d_1 = 13$ см, $CE = d_2 = 4$ см, $AE = AD + DE = a + b = 8 + 7 = 15$ см.

Площадь этого треугольника можно вычислить по формуле Герона: $S = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}$, где $s$ — полупериметр, а $x, y, z$ — длины сторон.

Полупериметр треугольника ACE равен:

$s = \frac{13 + 4 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника ACE:

$S_{ACE} = \sqrt{16(16-13)(16-4)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot 12 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24$ см².

Площадь трапеции ABCD равна площади полученного треугольника ACE, так как $S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} \cdot h$ и $S_{ACE} = \frac{AE}{2} \cdot h = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

Ответ: 24 см².