Номер 3, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Теорема синусов

1. На рисунке 1 $AB = c$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle CAD = \beta$, $\angle D = \gamma$. Найдите отрезок $AD$.

2. Две стороны треугольника равны $3\sqrt{2}$ см и 4 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{2} : 1$.

3. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 5 : 11. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 6 см.

Рис. 1

1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом $\angle B = 90^\circ$. По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения $\angle BAC = \alpha$ и $AB = c$:

$\cos(\alpha) = \frac{c}{AC}$

Отсюда выразим гипотенузу $AC$, которая является общей стороной для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$:

$AC = \frac{c}{\cos(\alpha)}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Нам известна сторона $AC$ и два угла: $\angle CAD = \beta$ и $\angle D = \gamma$. Найдем третий угол треугольника, $\angle ACD$, используя теорему о сумме углов треугольника:

$\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle D) = 180^\circ - (\beta + \gamma)$

Применим теорему синусов для треугольника $\triangle ACD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle D)}$

Подставим известные значения углов:

$\frac{AD}{\sin(180^\circ - (\beta + \gamma))} = \frac{AC}{\sin(\gamma)}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получим:

$\frac{AD}{\sin(\beta + \gamma)} = \frac{AC}{\sin(\gamma)}$

Выразим искомую сторону $AD$:

$AD = AC \cdot \frac{\sin(\beta + \gamma)}{\sin(\gamma)}$

Наконец, подставим ранее найденное выражение для стороны $AC$:

$AD = \frac{c}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\beta + \gamma)}{\sin(\gamma)} = \frac{c \sin(\beta + \gamma)}{\cos(\alpha) \sin(\gamma)}$

Ответ: $AD = \frac{c \sin(\beta + \gamma)}{\cos(\alpha) \sin(\gamma)}$

2.

Пусть в треугольнике известны стороны $a = 3\sqrt{2}$ см и $b = 4$ см. Третью сторону обозначим $c$, а противолежащий ей угол — $C$. Радиус описанной окружности обозначим как $R$.

По условию, отношение третьей стороны к радиусу описанной окружности равно $\sqrt{2} : 1$, что можно записать в виде:

$\frac{c}{R} = \sqrt{2}$

Согласно обобщенной теореме синусов, для любого треугольника выполняется соотношение:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Из соотношения $\frac{c}{\sin C} = 2R$ выразим отношение $\frac{c}{R}$:

$\frac{c}{R} = 2 \sin C$

Теперь приравняем два полученных выражения для $\frac{c}{R}$:

$2 \sin C = \sqrt{2}$

$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для угла треугольника ($0^\circ < C < 180^\circ$) это уравнение имеет два возможных решения: $C_1 = 45^\circ$ и $C_2 = 135^\circ$. Рассмотрим оба случая, используя теорему косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ для нахождения стороны $c$.

Случай 1: $C = 45^\circ$.

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ)$

$c^2 = (9 \cdot 2) + 16 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 18 + 16 - 24 = 10$

$c = \sqrt{10}$ см.

Случай 2: $C = 135^\circ$.

$\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ)$

$c^2 = 18 + 16 - 24\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$c^2 = 34 + 24 = 58$

$c = \sqrt{58}$ см.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: $\sqrt{10}$ см или $\sqrt{58}$ см.

3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$). Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle DAB$. Обозначим этот угол $\angle DAB = \alpha$.

Так как $AC$ — биссектриса, то $\angle BAC = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle BCA = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем два угла равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Из этого следует, что $AB = BC = CD$, то есть боковая сторона трапеции равна меньшему основанию.

По условию, основания относятся как 5:11. Пусть меньшее основание $BC = 5x$, а большее $AD = 11x$. Тогда боковая сторона $CD = BC = 5x$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции длина отрезка $DH$, который является проекцией боковой стороны на большее основание, равна полуразности оснований:

$DH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{11x - 5x}{2} = \frac{6x}{2} = 3x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDH$. Острый угол трапеции при основании $AD$ — это $\angle D = \angle A = \alpha$. По определению косинуса:

$\cos(\alpha) = \cos(\angle D) = \frac{DH}{CD} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$.

Так как $\alpha$ — острый угол, $\sin(\alpha)$ будет положительным. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Окружность, описанная около трапеции, также является описанной окружностью для треугольника $\triangle ACD$. Применим для этого треугольника обобщенную теорему синусов:

$\frac{AC}{\sin(\angle D)} = 2R$

В этом соотношении $AC$ — искомая диагональ (обозначим ее $d$), $\angle D = \alpha$, а радиус описанной окружности по условию $R = 6$ см.

$\frac{d}{\sin(\alpha)} = 2 \cdot 6 = 12$

Выразим диагональ $d$:

$d = 12 \sin(\alpha) = 12 \cdot \frac{4}{5} = \frac{48}{5} = 9,6$ см.

Ответ: 9,6 см.