Номер 7, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Длина окружности. Площадь круга

1. Радиус круга увеличили на $\frac{1}{3}$ его длины. Во сколько раз увеличилась:

1) длина окружности;

2) площадь круга, ограниченного данной окружностью?

2. Диаметр ведущего колеса электровоза равен 2 м. Найдите скорость электровоза в километрах в час, если ведущее колесо за одну минуту делает 100 оборотов. Ответ округлите до единиц.

3. Радиус круга равен 4 см. По разные стороны от его центра проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного четырёхугольника и правильного шестиугольника, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

1.

Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. Согласно условию, радиус увеличили на $\frac{1}{3}$ его длины. Новый радиус $R_2$ будет равен:

$R_2 = R_1 + \frac{1}{3}R_1 = (1 + \frac{1}{3})R_1 = \frac{4}{3}R_1$

1) длина окружности;

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

Первоначальная длина окружности: $C_1 = 2\pi R_1$.

Новая длина окружности: $C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi (\frac{4}{3}R_1) = \frac{4}{3}(2\pi R_1) = \frac{4}{3}C_1$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась длина окружности, найдем отношение новой длины к первоначальной:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{4}{3}C_1}{C_1} = \frac{4}{3}$

Ответ: Длина окружности увеличилась в $\frac{4}{3}$ раза.

2) площадь круга, ограниченного данной окружностью?

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Первоначальная площадь круга: $S_1 = \pi R_1^2$.

Новая площадь круга: $S_2 = \pi R_2^2 = \pi (\frac{4}{3}R_1)^2 = \pi (\frac{16}{9}R_1^2) = \frac{16}{9}(\pi R_1^2) = \frac{16}{9}S_1$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь круга, найдем отношение новой площади к первоначальной:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{16}{9}S_1}{S_1} = \frac{16}{9}$

Ответ: Площадь круга увеличилась в $\frac{16}{9}$ раза.

2.

Найдем длину окружности ведущего колеса. Диаметр $d = 2$ м, значит радиус $R = \frac{d}{2} = 1$ м.

Длина окружности колеса $C$ равна:

$C = 2\pi R = 2\pi(1) = 2\pi$ м.

За один оборот колесо проходит расстояние, равное длине его окружности. За одну минуту колесо делает 100 оборотов, значит, за минуту электровоз проходит расстояние:

$L_{мин} = 100 \times C = 100 \times 2\pi = 200\pi$ м.

Таким образом, скорость электровоза составляет $200\pi$ метров в минуту.

Переведем скорость в километры в час. В одном часе 60 минут, а в одном километре 1000 метров.

Скорость в метрах в час:

$V_{м/ч} = 200\pi \frac{м}{мин} \times 60 \frac{мин}{ч} = 12000\pi \frac{м}{ч}$.

Скорость в километрах в час:

$V_{км/ч} = \frac{12000\pi}{1000} \frac{км}{ч} = 12\pi \frac{км}{ч}$.

Теперь вычислим приближенное значение и округлим до единиц. Примем $\pi \approx 3.14159$.

$V_{км/ч} = 12\pi \approx 12 \times 3.14159 \approx 37.699$ км/ч.

Округляя до единиц, получаем 38 км/ч.

Ответ: Скорость электровоза примерно равна 38 км/ч.

3.

Площадь части круга, находящейся между двумя параллельными хордами, расположенными по разные стороны от центра, можно найти, если из общей площади круга вычесть площади двух сегментов, отсекаемых этими хордами.

Радиус круга $R = 4$ см. Площадь всего круга $S_{кр}$ равна:

$S_{кр} = \pi R^2 = \pi(4^2) = 16\pi$ см$^2$.

Площадь сегмента вычисляется по формуле $S_{сег} = S_{сект} - S_{\triangle}$, где $S_{сект}$ — площадь сектора, а $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, образованного хордой и двумя радиусами.

Найдем площадь сегмента, отсекаемого хордой, равной стороне правильного четырехугольника (квадрата).

Сторона вписанного квадрата $a_4 = R\sqrt{2}$. Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\alpha = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Площадь соответствующего сектора:

$S_{сект1} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi (4^2) = \frac{1}{4} \times 16\pi = 4\pi$ см$^2$.

Площадь треугольника, образованного хордой и радиусами:

$S_{\triangle1} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (4^2) \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \times 16 \times 1 = 8$ см$^2$.

Площадь первого сегмента:

$S_{сег1} = S_{сект1} - S_{\triangle1} = 4\pi - 8$ см$^2$.

Найдем площадь сегмента, отсекаемого хордой, равной стороне правильного шестиугольника.

Сторона вписанного правильного шестиугольника $a_6 = R$. Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\beta = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

Площадь соответствующего сектора:

$S_{сект2} = \frac{\beta}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi (4^2) = \frac{1}{6} \times 16\pi = \frac{8\pi}{3}$ см$^2$.

Площадь треугольника, образованного хордой и радиусами:

$S_{\triangle2} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\beta) = \frac{1}{2} (4^2) \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь второго сегмента:

$S_{сег2} = S_{сект2} - S_{\triangle2} = \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Найдем искомую площадь.

Площадь части круга между хордами $S_{между}$ равна площади круга минус площади двух сегментов:

$S_{между} = S_{кр} - S_{сег1} - S_{сег2} = 16\pi - (4\pi - 8) - (\frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3})$

$S_{между} = 16\pi - 4\pi + 8 - \frac{8\pi}{3} + 4\sqrt{3} = 12\pi - \frac{8\pi}{3} + 8 + 4\sqrt{3}$

$S_{между} = \frac{36\pi - 8\pi}{3} + 8 + 4\sqrt{3} = \frac{28\pi}{3} + 8 + 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: Площадь части круга, находящейся между хордами, равна $(\frac{28\pi}{3} + 8 + 4\sqrt{3})$ см$^2$.