Номер 12, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Метод координат

1. Расстояние между точками A и B равно 4. Найдите геометрическое место точек X таких, что $XA^2 - XB^2 = 6$.

2. Катеты $\text{AC}$ и $\text{BC}$ прямоугольного треугольника $\text{ABC}$ равны 18 см и 24 см соответственно. На медиане $\text{CM}$ отметили точку $\text{K}$ так, что $\text{CK} : \text{KM} = 1 : 2$. Найдите расстояние от точки $\text{K}$ до середины катета $\text{AC}$.

3. Расстояние между точками A и B равно 2 см. Найдите геометрическое место точек C таких, что медиана $\text{AM}$ треугольника $\text{ABC}$ равна 3 см.

1.

Введем систему координат. Пусть отрезок AB лежит на оси Ox, а начало координат O — его середина. Так как расстояние между A и B равно 4, то координаты точек будут A(-2; 0) и B(2; 0). Пусть точка X имеет произвольные координаты (x; y). Найдем квадраты расстояний от точки X до точек A и B по формуле квадрата расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

$XA^2 = (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (x + 2)^2 + y^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2$

$XB^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2$

Подставим эти выражения в заданное условие $XA^2 - XB^2 = 6$:

$(x^2 + 4x + 4 + y^2) - (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 6$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + 4x + 4 + y^2 - x^2 + 4x - 4 - y^2 = 6$

$8x = 6$

$x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Полученное уравнение $x = \frac{3}{4}$ является уравнением прямой, параллельной оси Oy. Так как ось Oy в нашей системе координат является серединным перпендикуляром к отрезку AB, то искомое геометрическое место точек — это прямая, перпендикулярная прямой AB и проходящая на расстоянии $3/4$ от середины отрезка AB в сторону точки B.

Ответ: Прямая, перпендикулярная отрезку AB.

2.

Введем прямоугольную систему координат. Так как треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C, удобно поместить вершину C в начало координат C(0; 0). Расположим катеты AC и BC вдоль осей координат. Пусть катет AC лежит на оси Ox, а катет BC — на оси Oy.

Исходя из длин катетов, координаты вершин треугольника будут:

C(0; 0)

A(18; 0)

B(0; 24)

CM — медиана, проведенная к гипотенузе AB, значит, точка M является серединой отрезка AB. Найдем координаты точки M:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{18 + 0}{2} = 9$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 24}{2} = 12$

Таким образом, M(9; 12).

Точка K лежит на медиане CM и делит ее в отношении CK : KM = 1 : 2. Это означает, что вектор $\vec{CK}$ составляет $1/3$ от вектора $\vec{CM}$. Так как C — начало координат, координаты точки K равны $1/3$ от координат точки M:

$x_K = \frac{1}{3} x_M = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$

$y_K = \frac{1}{3} y_M = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$

Итак, K(3; 4).

Теперь найдем координаты середины катета AC. Обозначим ее точкой P.

$x_P = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{18 + 0}{2} = 9$

$y_P = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0$

Точка P имеет координаты P(9; 0).

Нам нужно найти расстояние от точки K до середины катета AC, то есть длину отрезка KP. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками K(3; 4) и P(9; 0):

$d(K, P) = \sqrt{(x_P - x_K)^2 + (y_P - y_K)^2} = \sqrt{(9 - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$

Упростим полученное значение: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.

3.

Введем систему координат. Расположим точку A в начале координат A(0; 0), а точку B на оси Ox. Так как расстояние между A и B равно 2 см, координаты точки B будут B(2; 0). Пусть точка C имеет произвольные координаты (x; y).

Медиана AM соединяет вершину A с серединой M стороны BC. Найдем координаты точки M:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{2 + x}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$

Таким образом, M($\frac{x+2}{2}$; $\frac{y}{2}$).

По условию, длина медианы AM равна 3 см. Запишем квадрат длины отрезка AM, используя формулу расстояния между точками A(0; 0) и M:

$AM^2 = (\frac{x+2}{2} - 0)^2 + (\frac{y}{2} - 0)^2 = 3^2$

$(\frac{x+2}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2 = 9$

$\frac{(x+2)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 9$

Умножим обе части уравнения на 4:

$(x+2)^2 + y^2 = 36$

$(x+2)^2 + (y-0)^2 = 6^2$

Это уравнение окружности с центром в точке O'(-2; 0) и радиусом R = 6.

Опишем это геометрическое место точек. Центр окружности O'(-2; 0) лежит на одной прямой с точками A(0; 0) и B(2; 0). При этом точка A является серединой отрезка O'B, так как ее координаты равны $(\frac{-2+2}{2}; \frac{0+0}{2}) = (0;0)$.

Следовательно, искомое геометрическое место точек C — это окружность с радиусом 6 см и центром в такой точке O', что точка A является серединой отрезка O'B.

Ответ: Окружность с радиусом 6 см и центром в точке O', для которой точка A является серединой отрезка O'B.