Номер 8, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Расстояние между двумя точками

с данными координатами.

Деление отрезка в данном отношении

1. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(3; -2)$ и $B(1; 2)$.

2. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, $A(-3; -2)$, $B(5; 3)$, $C(3; -5)$. Найдите длину диагонали BD.

3. Точки $A(-2; -6)$, $B(1; -2)$ и $C(-7; 6)$ — вершины треугольника ABC. Найдите координаты точки пересечения биссектрисы угла BAC со стороной BC.

1.

Пусть искомая точка M лежит на оси абсцисс, тогда её координаты $M(x; 0)$.

Расстояние от точки до точки находится по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

По условию точка M равноудалена от точек A и B, значит, $MA = MB$. Чтобы избавиться от корней, возведём обе части в квадрат: $MA^2 = MB^2$.

Найдём квадраты расстояний:

$MA^2 = (x - 3)^2 + (0 - (-2))^2 = (x - 3)^2 + 2^2 = x^2 - 6x + 9 + 4 = x^2 - 6x + 13$

$MB^2 = (x - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 1)^2 + (-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5$

Приравняем полученные выражения:

$x^2 - 6x + 13 = x^2 - 2x + 5$

$-6x + 13 = -2x + 5$

$13 - 5 = -2x + 6x$

$8 = 4x$

$x = 2$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(2; 0)$.

Ответ: $(2; 0)$

2.

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Найдём координаты точки пересечения диагоналей O, которая является серединой диагонали AC.

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_O = \frac{x_A+x_C}{2}$, $y_O = \frac{y_A+y_C}{2}$.

$x_O = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_O = \frac{-2 + (-5)}{2} = \frac{-7}{2} = -3.5$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O(0; -3.5)$.

Точка O также является серединой диагонали BD. Найдём координаты вершины D $(x_D; y_D)$, используя координаты точки B $(5; 3)$ и O $(0; -3.5)$.

$x_O = \frac{x_B+x_D}{2} \Rightarrow 0 = \frac{5+x_D}{2} \Rightarrow 5+x_D=0 \Rightarrow x_D = -5$

$y_O = \frac{y_B+y_D}{2} \Rightarrow -3.5 = \frac{3+y_D}{2} \Rightarrow 3+y_D = -7 \Rightarrow y_D = -10$

Координаты вершины D равны $(-5; -10)$.

Теперь найдём длину диагонали BD, используя формулу расстояния между двумя точками B $(5; 3)$ и D $(-5; -10)$.

$BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2} = \sqrt{(-5 - 5)^2 + (-10 - 3)^2} = \sqrt{(-10)^2 + (-13)^2} = \sqrt{100 + 169} = \sqrt{269}$.

Ответ: $\sqrt{269}$

3.

Пусть AL — биссектриса угла BAC, где L — точка пересечения биссектрисы со стороной BC.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$.

Найдём длины сторон AB и AC по формуле расстояния между двумя точками.

Координаты точек: A $(-2; –6)$, B $(1; –2)$, C $(-7; 6)$.

$AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - (-6))^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

$AC = \sqrt{(-7 - (-2))^2 + (6 - (-6))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Следовательно, точка L делит отрезок BC в отношении $\lambda = \frac{BL}{LC} = \frac{5}{13}$.

Координаты точки L $(x_L; y_L)$, делящей отрезок BC в отношении $\lambda$, находятся по формулам:

$x_L = \frac{x_B + \lambda x_C}{1 + \lambda}$ и $y_L = \frac{y_B + \lambda y_C}{1 + \lambda}$ (если отношение от B к C). Или можно использовать формулу деления отрезка в отношении $m:n$, где $m=5, n=13$: $x_L = \frac{n \cdot x_B + m \cdot x_C}{m+n}$, $y_L = \frac{n \cdot y_B + m \cdot y_C}{m+n}$.

Вычислим координаты точки L:

$x_L = \frac{13 \cdot 1 + 5 \cdot (-7)}{5 + 13} = \frac{13 - 35}{18} = \frac{-22}{18} = -\frac{11}{9}$.

$y_L = \frac{13 \cdot (-2) + 5 \cdot 6}{5 + 13} = \frac{-26 + 30}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.

Координаты точки пересечения биссектрисы со стороной BC равны $(-\frac{11}{9}; \frac{2}{9})$.

Ответ: $(-\frac{11}{9}; \frac{2}{9})$