Номер 2, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Теорема косинусов

1. Две стороны треугольника относятся как $3 : 5$, а угол между ними составляет $120^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $45$ см.

2. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC = 10$ см, $CD = 9$ см, $AD = 21$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $8$ см, а медиана, проведённая к ней, — $6$ см. Найдите основание треугольника.

1.

Пусть две стороны треугольника равны $a$ и $b$, а третья сторона равна $c$. Угол между сторонами $a$ и $b$ равен $\gamma = 120^{\circ}$.

По условию, стороны относятся как $3:5$. Обозначим $a = 3x$ и $b = 5x$, где $x$ — некоторый положительный коэффициент.

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения и выражения для сторон:

$c^2 = (3x)^2 + (5x)^2 - 2(3x)(5x) \cos(120^{\circ})$

Поскольку $\cos(120^{\circ}) = -1/2$, получим:

$c^2 = 9x^2 + 25x^2 - 2 \cdot 15x^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$c^2 = 34x^2 + 15x^2 = 49x^2$

Отсюда $c = \sqrt{49x^2} = 7x$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон. По условию, $P = 45$ см.

$P = a + b + c = 3x + 5x + 7x = 15x$

Составим уравнение:

$15x = 45$

$x = \frac{45}{15} = 3$

Теперь найдем длины сторон треугольника:

$a = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см

$b = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см

$c = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 15 см, 21 см.

2.

Так как около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Основное свойство вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Таким образом, $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$. Из этого следует, что $\cos(\angle C) = \cos(180^{\circ} - \angle A) = -\cos(\angle A)$.

Рассмотрим диагональ $BD$. Она разделяет четырёхугольник на два треугольника: $ABD$ и $BCD$. Выразим квадрат длины диагонали $BD$ через теорему косинусов для каждого из этих треугольников.

Для треугольника $ABD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = 10^2 + 21^2 - 2 \cdot 10 \cdot 21 \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = 100 + 441 - 420 \cos(\angle A) = 541 - 420 \cos(\angle A)$

Для треугольника $BCD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle C)$

$BD^2 = 10^2 + 9^2 - 2 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cos(\angle C)$

$BD^2 = 100 + 81 - 180 \cos(\angle C) = 181 - 180 \cos(\angle C)$

Используя свойство $\cos(\angle C) = -\cos(\angle A)$, преобразуем второе выражение:

$BD^2 = 181 - 180(-\cos(\angle A)) = 181 + 180 \cos(\angle A)$

Теперь приравняем оба выражения для $BD^2$, чтобы найти $\cos(\angle A)$:

$541 - 420 \cos(\angle A) = 181 + 180 \cos(\angle A)$

$541 - 181 = 420 \cos(\angle A) + 180 \cos(\angle A)$

$360 = 600 \cos(\angle A)$

$\cos(\angle A) = \frac{360}{600} = \frac{3}{5}$

Подставим найденное значение косинуса в любое из выражений для $BD^2$:

$BD^2 = 181 + 180 \cdot (\frac{3}{5}) = 181 + 36 \cdot 3 = 181 + 108 = 289$

$BD = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.

3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 8$ см и основанием $AC$. Медиана $AM$ проведена к боковой стороне $BC$, и её длина равна $AM = 6$ см.

По определению медианы, точка $M$ делит сторону $BC$ пополам, поэтому $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем известны длины всех трёх сторон: $AB = 8$ см, $AM = 6$ см и $BM = 4$ см. Применим к этому треугольнику теорему косинусов, чтобы найти косинус угла $B$.

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$

$6^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$

$36 = 64 + 16 - 64 \cos(\angle B)$

$36 = 80 - 64 \cos(\angle B)$

$64 \cos(\angle B) = 80 - 36 = 44$

$\cos(\angle B) = \frac{44}{64} = \frac{11}{16}$

Теперь, зная косинус угла при вершине, мы можем найти основание $AC$ исходного равнобедренного треугольника $ABC$, снова применив теорему косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{11}{16}$

$AC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot \frac{11}{16}$

$AC^2 = 128 - 8 \cdot 11 = 128 - 88 = 40$

$AC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.