Страница 4 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1

Самостоятельная работа № 1

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

1. Найдите значение выражения:

1) $sin 120^\circ cos 150^\circ tg 135^\circ$;

2) $2 cos^2 135^\circ + 6 sin 150^\circ - 4 ctg 90^\circ cos 141^\circ$.

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $\frac{sin 34^\circ}{sin 146^\circ} + \frac{tg 98^\circ}{tg 82^\circ}$;

2) $\frac{cos 118^\circ}{cos 62^\circ} - \frac{ctg 27^\circ}{ctg 153^\circ}$.

3. Найдите:

1) $tg \alpha$, если $cos \alpha = \frac{1}{3}$;

2) $cos \alpha$, если $sin \alpha = \frac{1}{9}$.

1. Найдите значение выражения:

1) $\sin120^\circ\cos150^\circ\mathrm{tg}135^\circ$

Для решения воспользуемся формулами приведения и значениями тригонометрических функций для основных углов.

$\sin120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{tg}135^\circ = \mathrm{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -\mathrm{tg}45^\circ = -1$

Теперь перемножим полученные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-1) = -\frac{3}{4} \cdot (-1) = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) $2\cos^2 135^\circ + 6\sin 150^\circ - 4\mathrm{ctg} 90^\circ\cos 141^\circ$

Рассчитаем значение каждого слагаемого по отдельности.

$\cos135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$2\cos^2 135^\circ = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1$

$\sin150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin30^\circ = \frac{1}{2}$

$6\sin 150^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$\mathrm{ctg}90^\circ = 0$. Поэтому все третье слагаемое равно нулю:

$4\mathrm{ctg} 90^\circ\cos 141^\circ = 4 \cdot 0 \cdot \cos 141^\circ = 0$

Сложим полученные значения:

$1 + 3 - 0 = 4$

Ответ: $4$

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $\frac{\sin34^\circ}{\sin146^\circ} + \frac{\mathrm{tg}98^\circ}{\mathrm{tg}82^\circ}$

Используем формулы приведения:

$\sin146^\circ = \sin(180^\circ - 34^\circ) = \sin34^\circ$

$\mathrm{tg}98^\circ = \mathrm{tg}(180^\circ - 82^\circ) = -\mathrm{tg}82^\circ$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{\sin34^\circ}{\sin34^\circ} + \frac{-\mathrm{tg}82^\circ}{\mathrm{tg}82^\circ} = 1 + (-1) = 0$

Ответ: $0$

2) $\frac{\cos118^\circ}{\cos62^\circ} - \frac{\mathrm{ctg}27^\circ}{\mathrm{ctg}153^\circ}$

Используем формулы приведения:

$\cos118^\circ = \cos(180^\circ - 62^\circ) = -\cos62^\circ$

$\mathrm{ctg}153^\circ = \mathrm{ctg}(180^\circ - 27^\circ) = -\mathrm{ctg}27^\circ$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{-\cos62^\circ}{\cos62^\circ} - \frac{\mathrm{ctg}27^\circ}{-\mathrm{ctg}27^\circ} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$

Ответ: $0$

3. Найдите:

1) $\mathrm{tg}\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{3}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha + (\frac{1}{3})^2 = 1$

$\sin^2\alpha + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Поскольку угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, а его косинус положителен ($\cos\alpha = \frac{1}{3} > 0$), угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). В этой четверти синус также положителен.

$\sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Теперь найдем тангенс по определению $\mathrm{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\mathrm{tg}\alpha = \frac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 3 = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

2) $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{1}{9}$

Снова используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$(\frac{1}{9})^2 + \cos^2\alpha = 1$

$\frac{1}{81} + \cos^2\alpha = 1$

$\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{81} = \frac{80}{81}$

Поскольку синус положителен ($\sin\alpha = \frac{1}{9} > 0$), угол $\alpha$ может находиться как в первой ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), так и во второй ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) четверти. В первой четверти косинус положителен, а во второй — отрицателен. Поэтому возможны два значения.

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{80}{81}} = \pm\frac{\sqrt{16 \cdot 5}}{9} = \pm\frac{4\sqrt{5}}{9}$

Ответ: $\pm\frac{4\sqrt{5}}{9}$

Самостоятельная работа № 2

Теорема косинусов

1. Две стороны треугольника относятся как $3 : 5$, а угол между ними составляет $120^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $45$ см.

2. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC = 10$ см, $CD = 9$ см, $AD = 21$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $8$ см, а медиана, проведённая к ней, — $6$ см. Найдите основание треугольника.

1.

Пусть две стороны треугольника равны $a$ и $b$, а третья сторона равна $c$. Угол между сторонами $a$ и $b$ равен $\gamma = 120^{\circ}$.

По условию, стороны относятся как $3:5$. Обозначим $a = 3x$ и $b = 5x$, где $x$ — некоторый положительный коэффициент.

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения и выражения для сторон:

$c^2 = (3x)^2 + (5x)^2 - 2(3x)(5x) \cos(120^{\circ})$

Поскольку $\cos(120^{\circ}) = -1/2$, получим:

$c^2 = 9x^2 + 25x^2 - 2 \cdot 15x^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$c^2 = 34x^2 + 15x^2 = 49x^2$

Отсюда $c = \sqrt{49x^2} = 7x$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон. По условию, $P = 45$ см.

$P = a + b + c = 3x + 5x + 7x = 15x$

Составим уравнение:

$15x = 45$

$x = \frac{45}{15} = 3$

Теперь найдем длины сторон треугольника:

$a = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см

$b = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см

$c = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 15 см, 21 см.

2.

Так как около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Основное свойство вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Таким образом, $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$. Из этого следует, что $\cos(\angle C) = \cos(180^{\circ} - \angle A) = -\cos(\angle A)$.

Рассмотрим диагональ $BD$. Она разделяет четырёхугольник на два треугольника: $ABD$ и $BCD$. Выразим квадрат длины диагонали $BD$ через теорему косинусов для каждого из этих треугольников.

Для треугольника $ABD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = 10^2 + 21^2 - 2 \cdot 10 \cdot 21 \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = 100 + 441 - 420 \cos(\angle A) = 541 - 420 \cos(\angle A)$

Для треугольника $BCD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle C)$

$BD^2 = 10^2 + 9^2 - 2 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cos(\angle C)$

$BD^2 = 100 + 81 - 180 \cos(\angle C) = 181 - 180 \cos(\angle C)$

Используя свойство $\cos(\angle C) = -\cos(\angle A)$, преобразуем второе выражение:

$BD^2 = 181 - 180(-\cos(\angle A)) = 181 + 180 \cos(\angle A)$

Теперь приравняем оба выражения для $BD^2$, чтобы найти $\cos(\angle A)$:

$541 - 420 \cos(\angle A) = 181 + 180 \cos(\angle A)$

$541 - 181 = 420 \cos(\angle A) + 180 \cos(\angle A)$

$360 = 600 \cos(\angle A)$

$\cos(\angle A) = \frac{360}{600} = \frac{3}{5}$

Подставим найденное значение косинуса в любое из выражений для $BD^2$:

$BD^2 = 181 + 180 \cdot (\frac{3}{5}) = 181 + 36 \cdot 3 = 181 + 108 = 289$

$BD = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.

3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 8$ см и основанием $AC$. Медиана $AM$ проведена к боковой стороне $BC$, и её длина равна $AM = 6$ см.

По определению медианы, точка $M$ делит сторону $BC$ пополам, поэтому $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем известны длины всех трёх сторон: $AB = 8$ см, $AM = 6$ см и $BM = 4$ см. Применим к этому треугольнику теорему косинусов, чтобы найти косинус угла $B$.

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$

$6^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$

$36 = 64 + 16 - 64 \cos(\angle B)$

$36 = 80 - 64 \cos(\angle B)$

$64 \cos(\angle B) = 80 - 36 = 44$

$\cos(\angle B) = \frac{44}{64} = \frac{11}{16}$

Теперь, зная косинус угла при вершине, мы можем найти основание $AC$ исходного равнобедренного треугольника $ABC$, снова применив теорему косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{11}{16}$

$AC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot \frac{11}{16}$

$AC^2 = 128 - 8 \cdot 11 = 128 - 88 = 40$

$AC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.