Страница 11 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Преобразование (отображение) фигур

1. Преобразование $f$ треугольника $ABC$ таково, что $f(A) = B, f(B) = C, f(C) = A$, а для любой точки $X$ треугольника $ABC$, отличной от точек $A, B$ и $C$, выполняется равенство $f(X) = X$. Является ли преобразование $f$ тождественным?

2. Опишите какое-нибудь преобразование фигуры, состоящей из всех точек сторон треугольника, при котором её образом является окружность, вписанная в данный треугольник.

3. Каждой точке графика функции $y = x^2$ ставится в соответствие её проекция на:

1) ось абсцисс;

2) ось ординат.

Является ли данное преобразование обратимым?

1. Тождественным называется преобразование, при котором каждая точка фигуры отображается сама в себя. То есть, для любой точки $X$ фигуры должно выполняться равенство $f(X) = X$.
В условии задачи дано преобразование $f$, для которого $f(A) = B$. Так как $A \neq B$, то точка $A$ не отображается сама в себя. Этого уже достаточно, чтобы утверждать, что преобразование $f$ не является тождественным. Аналогично, $f(B) = C \neq B$ и $f(C) = A \neq C$.
Ответ: нет, преобразование $f$ не является тождественным.

2. Фигура, состоящая из всех точек сторон треугольника, – это его периметр. Чтобы отобразить периметр треугольника на вписанную в него окружность, можно использовать центральное проектирование.
Центром этого проектирования будет центр вписанной окружности (инцентр), обозначим его точкой $I$.
Правило преобразования: каждой точке $P$, лежащей на стороне треугольника, ставится в соответствие точка $P'$, которая является точкой пересечения отрезка $IP$ с вписанной окружностью.
При таком преобразовании каждая точка периметра треугольника однозначно отобразится в точку на вписанной окружности, и образом всего периметра будет вся вписанная окружность.
Ответ: преобразование представляет собой центральное проектирование периметра треугольника на вписанную окружность из ее центра.

3. Преобразование является обратимым, если оно взаимно однозначно, то есть разным точкам исходной фигуры соответствуют разные точки-образы, и для каждой точки-образа существует единственная исходная точка (прообраз). Точка на графике функции $y=x^2$ имеет координаты $(x, x^2)$.
1) ось абсцисс
При проекции на ось абсцисс (ось $Ox$) точка с координатами $(x, x^2)$ переходит в точку с координатами $(x, 0)$.
Рассмотрим две разные точки на параболе: $M_1(x_1, x_1^2)$ и $M_2(x_2, x_2^2)$, где $x_1 \neq x_2$. Их проекции на ось абсцисс — это точки $M'_1(x_1, 0)$ и $M'_2(x_2, 0)$. Так как $x_1 \neq x_2$, то и точки-проекции $M'_1$ и $M'_2$ различны.
Таким образом, разным точкам параболы соответствуют разные точки на оси абсцисс. Каждой точке $(x, 0)$ на оси абсцисс соответствует ровно одна точка-прообраз $(x, x^2)$ на параболе. Следовательно, это преобразование является обратимым.
Ответ: да, является обратимым.
2) ось ординат
При проекции на ось ординат (ось $Oy$) точка с координатами $(x, x^2)$ переходит в точку с координатами $(0, x^2)$.
Рассмотрим две разные точки на параболе, симметричные относительно оси ординат, например, $M_1(2, 4)$ и $M_2(-2, 4)$. Их проекции на ось ординат совпадают: точка $M_1(2, 4)$ переходит в точку $(0, 4)$, и точка $M_2(-2, 4)$ также переходит в точку $(0, 4)$.
В общем случае, для любого $x \neq 0$ две различные точки $(x, x^2)$ и $(-x, x^2)$ отображаются в одну и ту же точку $(0, x^2)$. Так как одной точке-образу соответствует более одной точки-прообраза, данное преобразование не является взаимно однозначным, а значит, не является обратимым.
Ответ: нет, не является обратимым.

Самостоятельная работа № 19

Движение. Параллельный перенос

1. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки A $(3; 1)$ будет точка B $(-1; 4)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки B будет точка A.

2. Выполнили параллельный перенос прямой $2x + 3y = 6$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку B $(-1; 4)$.

3. Даны две окружности и отрезок $AB$. Постройте отрезок, равный и параллельный отрезку $AB$, так, чтобы его концы принадлежали двум данным окружностям.

1.

Пусть параллельный перенос задается вектором $\vec{p} = (a; b)$. При таком переносе точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x+a; y+b)$.

Найдем вектор, при параллельном переносе на который точка $A(3; 1)$ переходит в точку $B(-1; 4)$.
Обозначим этот вектор как $\vec{p_1} = (a_1; b_1)$. Координаты этого вектора равны разности координат конца и начала, то есть $\vec{p_1} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.
$a_1 = -1 - 3 = -4$
$b_1 = 4 - 1 = 3$
Таким образом, искомый вектор $\vec{p_1} = (-4; 3)$.

Теперь найдем вектор, при параллельном переносе на который точка $B(-1; 4)$ переходит в точку $A(3; 1)$.
Обозначим этот вектор как $\vec{p_2} = (a_2; b_2)$. Этот вектор равен $\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B)$.
$a_2 = 3 - (-1) = 4$
$b_2 = 1 - 4 = -3$
Таким образом, искомый вектор $\vec{p_2} = (4; -3)$. Заметим, что $\vec{p_2} = -\vec{p_1}$.

Ответ: Вектор для переноса $A \to B$ это $(-4; 3)$. Вектор для переноса $B \to A$ это $(4; -3)$.

2.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. Уравнение прямой, параллельной данной прямой $2x + 3y = 6$, имеет вид $2x + 3y = C$, где $C$ — некоторая константа.

По условию, полученная в результате переноса прямая проходит через точку $B(-1; 4)$. Чтобы найти значение $C$, подставим координаты этой точки в уравнение искомой прямой:
$2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = C$
$-2 + 12 = C$
$C = 10$

Следовательно, уравнение полученной прямой: $2x + 3y = 10$.

Ответ: $2x + 3y = 10$.

3.

Пусть даны две окружности $\omega_1$ (с центром $O_1$) и $\omega_2$ (с центром $O_2$) и отрезок $AB$. Требуется построить отрезок $CD$, равный и параллельный отрезку $AB$, так, чтобы точка $C$ принадлежала окружности $\omega_1$, а точка $D$ — окружности $\omega_2$.

Равенство и параллельность отрезков $CD$ и $AB$ означает, что векторы $\vec{CD}$ и $\vec{AB}$ равны (или $\vec{CD} = \vec{BA}$). Рассмотрим случай, когда $\vec{CD} = \vec{AB}$.
Это условие означает, что точка $D$ является образом точки $C$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v} = \vec{AB}$.

Поскольку точка $C$ лежит на окружности $\omega_1$, ее образ, точка $D$, должна лежать на образе окружности $\omega_1$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v}$. Обозначим этот образ $\omega_1'$. Окружность $\omega_1'$ имеет тот же радиус, что и $\omega_1$, а ее центр $O_1'$ является образом центра $O_1$ при переносе на вектор $\vec{v}$, то есть $\vec{O_1O_1'} = \vec{v} = \vec{AB}$.

Таким образом, точка $D$ должна одновременно принадлежать окружности $\omega_2$ (по условию) и окружности $\omega_1'$ (как образ точки с $\omega_1$). Следовательно, точка $D$ является точкой пересечения этих двух окружностей.

Алгоритм построения:
1. Строим вектор $\vec{v}$, равный вектору $\vec{AB}$.
2. Выполняем параллельный перенос центра $O_1$ первой окружности на вектор $\vec{v}$, получая точку $O_1'$. Для этого можно отложить от точки $O_1$ вектор, равный $\vec{AB}$.
3. Строим окружность $\omega_1'$ с центром в точке $O_1'$ и радиусом, равным радиусу окружности $\omega_1$.
4. Находим точку (или точки) пересечения окружности $\omega_1'$ и окружности $\omega_2$. Обозначим одну из таких точек буквой $D$. Это будет один из концов искомого отрезка.
5. Чтобы найти второй конец отрезка, точку $C$, выполняем параллельный перенос точки $D$ на вектор, противоположный вектору $\vec{v}$, то есть на вектор $-\vec{v} = \vec{BA}$. Полученная точка $C$ будет лежать на исходной окружности $\omega_1$.
6. Соединяем точки $C$ и $D$. Отрезок $CD$ — искомый.
Примечание: В зависимости от взаимного расположения окружностей и длины отрезка, задача может иметь от 0 до 4 решений (так как можно было рассмотреть и перенос на вектор $\vec{BA}$).

Ответ: Построение выполняется путем параллельного переноса одной из окружностей на вектор, заданный отрезком $AB$, нахождения точек пересечения перенесенной окружности со второй окружностью и последующего нахождения прообразов этих точек на первой окружности.

Самостоятельная работа № 20

Осевая симметрия

1. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии отрезка $AB$?

2. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(4; -3)$.

3. Даны точки $A (2; -3)$ и $B (4; 1)$. Точка $Y$ принадлежит оси ординат. Найдите наименьшее значение выражения $AY + BY$.

1. Прямая m является осью симметрии отрезка AB в том случае, если она является серединным перпендикуляром к этому отрезку. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия:

1. Прямая m перпендикулярна отрезку AB.
2. Прямая m проходит через середину отрезка AB.

Ответ: Прямая m является осью симметрии отрезка AB, если она перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

2. По условию, диагонали ромба лежат на координатных осях. Это означает, что центр ромба находится в начале координат (0; 0), а его вершины симметрично расположены на осях Ox и Oy. Обозначим координаты вершин как (a; 0), (-a; 0), (0; b) и (0; -b), где a > 0 и b > 0.

Возьмем одну из сторон ромба, например, ту, что лежит в IV координатной четверти. Ее вершины имеют координаты (a; 0) и (0; -b). Найдем координаты середины M этой стороны по формуле середины отрезка: $M = \left( \frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2} \right)$.

$M = \left( \frac{a+0}{2}; \frac{0+(-b)}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}; -\frac{b}{2} \right)$.

В условии сказано, что середина одной из сторон имеет координаты (4; -3). Сопоставим эти данные с полученными нами координатами:

$\frac{a}{2} = 4 \implies a = 8$.

$-\frac{b}{2} = -3 \implies b = 6$.

Теперь, зная значения a и b, мы можем определить координаты всех вершин ромба:

• Вершины на оси Ox: (8; 0) и (-8; 0).
• Вершины на оси Oy: (0; 6) и (0; -6).

Ответ: Координаты вершин ромба: (8; 0), (-8; 0), (0; 6), (0; -6).

3. Даны точки A(2; -3) и B(4; 1). Точка Y принадлежит оси ординат (оси Oy), поэтому ее абсцисса равна нулю, а ее координаты имеют вид Y(0; y). Нам нужно найти наименьшее значение суммы расстояний AY + BY.

Точки A и B расположены по одну сторону от оси Oy, так как их абсциссы (2 и 4) положительны. Для решения этой задачи используется свойство осевой симметрии.

Найдем координаты точки A', симметричной точке A относительно оси ординат. При симметрии относительно оси Oy координата x меняет знак, а y остается прежней. Таким образом, точка A' имеет координаты (-2; -3).

По свойству симметрии, расстояние от любой точки на оси симметрии до симметричных точек одинаково, то есть AY = A'Y для любой точки Y на оси Oy. Поэтому сумму AY + BY можно заменить на равную ей сумму A'Y + BY.

Сумма длин двух отрезков A'Y и BY будет наименьшей, когда точки A', Y и B лежат на одной прямой (согласно неравенству треугольника). В этом случае наименьшее значение суммы A'Y + BY равно длине отрезка A'B.

Вычислим расстояние между точками A'(-2; -3) и B(4; 1), используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:

$A'B = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(4+2)^2 + (1+3)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.

Таким образом, наименьшее значение выражения AY + BY равно 10.

Ответ: 10.