Страница 16 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Правильные многоугольники

и их свойства

1. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, $\angle BKC = 160^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

2. В окружность радиуса 12 см вписан квадрат. В этот квадрат вписана окружность, а в окружность — правильный шестиугольник. Найдите сторону шестиугольника.

3. Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 8 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

1. Пусть $n$ — количество сторон правильного многоугольника. Углы $\angle KBC$ и $\angle KCB$ в треугольнике $KBC$ являются внешними углами данного правильного многоугольника. Все внешние углы правильного многоугольника равны. Обозначим величину внешнего угла как $\beta$. Сумма углов треугольника $KBC$ равна $180^\circ$.
$\angle KBC + \angle KCB + \angle BKC = 180^\circ$
Поскольку $\angle KBC = \angle KCB = \beta$ и по условию $\angle BKC = 160^\circ$, получаем:
$\beta + \beta + 160^\circ = 180^\circ$
$2\beta = 180^\circ - 160^\circ$
$2\beta = 20^\circ$
$\beta = 10^\circ$
Величина внешнего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле $\beta = \frac{360^\circ}{n}$.
Подставим найденное значение $\beta$:
$10^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
$n = \frac{360}{10} = 36$
Следовательно, у многоугольника 36 сторон.
Ответ: 36.

2. 1. Найдем сторону квадрата, вписанного в окружность с радиусом $R = 12$ см. Сторона квадрата $a_4$ связана с радиусом описанной окружности формулой $a_4 = R\sqrt{2}$.
$a_4 = 12\sqrt{2}$ см.
2. В этот квадрат вписана окружность. Ее радиус $r$ равен половине стороны квадрата.
$r = \frac{a_4}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.
3. В эту вторую окружность вписан правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника $a_6$ равна радиусу описанной около него окружности.
$a_6 = r = 6\sqrt{2}$ см.
Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

3. Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2...A_8$, равен $R = 8$ см. Вершины восьмиугольника делят окружность на 8 равных дуг. Центральный угол, соответствующий каждой стороне, равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.
Длину диагонали (хорды) можно найти по формуле $d = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha$ — соответствующий центральный угол.

Диагональ $A_1A_3$:
Эта диагональ соединяет вершины через одну. Центральный угол $\angle A_1OA_3$ опирается на дугу $A_1A_2A_3$, которая состоит из двух частей, поэтому $\angle A_1OA_3 = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.
Рассмотрим равнобедренный треугольник $A_1OA_3$ с боковыми сторонами $OA_1 = OA_3 = R = 8$ см и углом между ними $90^\circ$. По теореме Пифагора:
$A_1A_3 = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Диагональ $A_1A_4$:
Эта диагональ соединяет вершины через две. Центральный угол $\angle A_1OA_4$ опирается на дугу $A_1A_2A_3A_4$, состоящую из трех частей, поэтому $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
Найдем длину хорды $A_1A_4$ по теореме косинусов для треугольника $A_1OA_4$:
$A_1A_4^2 = OA_1^2 + OA_4^2 - 2 \cdot OA_1 \cdot OA_4 \cdot \cos(135^\circ)$
$A_1A_4^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(135^\circ) = 2R^2(1 - \cos(135^\circ))$
Так как $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$A_1A_4^2 = 2 \cdot 8^2 \cdot (1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = 128(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 128 + 64\sqrt{2} = 64(2+\sqrt{2})$
$A_1A_4 = \sqrt{64(2+\sqrt{2})} = 8\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см.

Диагональ $A_1A_5$:
Эта диагональ соединяет противоположные вершины. Центральный угол $\angle A_1OA_5$ равен $4 \cdot 45^\circ = 180^\circ$. Это означает, что диагональ $A_1A_5$ является диаметром окружности.
$A_1A_5 = 2R = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Ответ: $A_1A_3 = 8\sqrt{2}$ см, $A_1A_4 = 8\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см, $A_1A_5 = 16$ см.

Самостоятельная работа № 7

Длина окружности.

Площадь круга

1. Радиус круга уменьшили на $\frac{1}{4}$ его длины. Во сколько раз уменьшилась:

1) длина окружности;

2) площадь круга, ограниченного данной окружностью?

2. Диаметр колеса автомобиля равен 0,9 м. Найдите скорость автомобиля в километрах в час, если его колесо за одну минуту делает 250 оборотов. Ответ округлите до единиц.

3. Радиус круга равен 6 см. По одну сторону от его центра проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного треугольника и квадрата, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

1. Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. Согласно условию, радиус уменьшили на $\frac{1}{4}$ его длины. Это означает, что новый радиус $R_2$ стал равен: $R_2 = R_1 - \frac{1}{4}R_1 = \frac{3}{4}R_1$.

1) длина окружности;
Длина первоначальной окружности вычисляется по формуле $C_1 = 2\pi R_1$.
Длина новой окружности: $C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi \left(\frac{3}{4}R_1\right) = \frac{3}{4} (2\pi R_1) = \frac{3}{4}C_1$.
Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась длина окружности, найдем отношение первоначальной длины к новой: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{2\pi R_1}{\frac{3}{4} \cdot 2\pi R_1} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
Ответ: Длина окружности уменьшилась в $\frac{4}{3}$ раза.

2) площадь круга, ограниченного данной окружностью?
Площадь первоначального круга вычисляется по формуле $S_1 = \pi R_1^2$.
Площадь нового круга: $S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{3}{4}R_1\right)^2 = \pi \frac{9}{16}R_1^2 = \frac{9}{16}S_1$.
Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась площадь круга, найдем отношение первоначальной площади к новой: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\frac{9}{16} \pi R_1^2} = \frac{1}{9/16} = \frac{16}{9}$.
Ответ: Площадь круга уменьшилась в $\frac{16}{9}$ раза.

2. 1. Найдем длину окружности колеса. Это расстояние, которое автомобиль проезжает за один полный оборот колеса. Диаметр $d = 0,9$ м.
Длина окружности: $C = \pi d = 0,9\pi$ м.
2. Колесо делает 250 оборотов в минуту. Найдем расстояние, которое автомобиль проезжает за одну минуту, то есть его скорость в метрах в минуту:
$v_{м/мин} = 250 \cdot C = 250 \cdot 0,9\pi = 225\pi$ м/мин.
3. Переведем скорость в километры в час. В 1 часе 60 минут, а в 1 километре 1000 метров.
$v_{км/ч} = \frac{225\pi \text{ метров}}{1 \text{ минута}} = \frac{225\pi \cdot 60 \text{ метров}}{60 \text{ минут}} = \frac{13500\pi \text{ метров}}{1 \text{ час}}$.
$v_{км/ч} = \frac{13500\pi}{1000} \text{ км/ч} = 13,5\pi$ км/ч.
4. Вычислим приближенное значение скорости и округлим до единиц, используя $\pi \approx 3,14159$.
$v \approx 13,5 \cdot 3,14159 \approx 42,41$ км/ч.
Округляя до ближайшего целого числа, получаем 42 км/ч.
Ответ: Скорость автомобиля примерно равна 42 км/ч.

3. 1. Найдем длины хорд. Радиус круга $R = 6$ см. Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле $a_n = 2R\sin(\frac{180^\circ}{n})$.
Длина хорды, равной стороне правильного треугольника ($n=3$): $a_3 = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
Длина хорды, равной стороне квадрата ($n=4$): $a_4 = R\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.
2. Найдем расстояние от центра круга до каждой хорды. Пусть $d_3$ и $d_4$ — расстояния до хорд $a_3$ и $a_4$ соответственно. По теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом (гипотенуза), половиной хорды и расстоянием до нее (катеты):
$d_3 = \sqrt{R^2 - \left(\frac{a_3}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3$ см.
$d_4 = \sqrt{R^2 - \left(\frac{a_4}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 18} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.
Так как $3 < 3\sqrt{2}$, хорда $a_3$ (сторона треугольника) находится ближе к центру.
3. Поскольку хорды расположены по одну сторону от центра, искомая площадь — это разность площадей двух круговых сегментов. Больший сегмент отсекается более близкой к центру хордой ($a_3$), а меньший — более далекой ($a_4$).
4. Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади равнобедренного треугольника, образованного хордой и двумя радиусами.
Для хорды $a_3$: центральный угол $2\alpha_3$ находится из $\cos(\alpha_3) = \frac{d_3}{R} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, откуда $\alpha_3 = 60^\circ$ и $2\alpha_3 = 120^\circ$.
Площадь сектора: $S_{сектор3} = \frac{120}{360} \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 = 12\pi$ см$^2$.
Площадь треугольника: $S_{треуг3} = \frac{1}{2}a_3 d_3 = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}$ см$^2$.
Площадь сегмента: $S_{сегмент3} = 12\pi - 9\sqrt{3}$ см$^2$.
5. Для хорды $a_4$: центральный угол $2\alpha_4$ находится из $\cos(\alpha_4) = \frac{d_4}{R} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $\alpha_4 = 45^\circ$ и $2\alpha_4 = 90^\circ$.
Площадь сектора: $S_{сектор4} = \frac{90}{360} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 6^2 = 9\pi$ см$^2$.
Площадь треугольника: $S_{треуг4} = \frac{1}{2}a_4 d_4 = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 18$ см$^2$.
Площадь сегмента: $S_{сегмент4} = 9\pi - 18$ см$^2$.
6. Искомая площадь равна разности площадей этих сегментов:
$S = S_{сегмент3} - S_{сегмент4} = (12\pi - 9\sqrt{3}) - (9\pi - 18) = 3\pi + 18 - 9\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: $3\pi + 18 - 9\sqrt{3}$ см$^2$.