Страница 23 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Прямая призма. Пирамида

1. Каждое ребро прямой четырёхугольной призмы равно 8 см, а один из углов основания — $120^\circ$. Найдите площадь поверхности призмы.

2. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 6 см.

3. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 5 см, диаметр вписанной окружности — 3 см, а боковое ребро призмы равно 6 см. Найдите объём призмы.

1. Дано: прямая четырёхугольная призма, у которой все рёбра равны 8 см. Так как все стороны основания равны, основанием является ромб. Один из углов основания равен 120°. Высота призмы $H$ равна длине бокового ребра, то есть $H = 8$ см.

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

Сначала найдём площадь основания. Основание — это ромб со стороной $a = 8$ см и углом $\alpha = 120°$. Площадь ромба можно найти по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$.

$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin(120°) = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ см².

Далее найдём площадь боковой поверхности. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Периметр основания (ромба) $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 8 = 32$ см.

Высота призмы $H = 8$ см.

$S_{бок} = 32 \cdot 8 = 256$ см².

Теперь можем найти площадь полной поверхности призмы.

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 256 + 2 \cdot 32\sqrt{3} = 256 + 64\sqrt{3}$ см².

Ответ: $(256 + 64\sqrt{3})$ см².

2. Дано: пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник. Гипотенуза треугольника $c = 13$ см, один из катетов $a = 12$ см. Высота пирамиды $H = 6$ см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Для этого нужно найти длину второго катета $b$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$12^2 + b^2 = 13^2$

$144 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 144 = 25$

$b = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту пирамиды, найдём её объём.

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$ см³.

Ответ: 60 см³.

3. Дано: прямая призма, в основании которой лежит равнобокая трапеция. Боковая сторона трапеции $c = 5$ см. В трапецию вписана окружность диаметром $d = 3$ см. Боковое ребро (высота) призмы $H = 6$ см.

Объём призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Сначала найдём площадь основания. Основание — равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Таким образом, высота трапеции $h = d = 3$ см.

Свойство описанного четырёхугольника (в который можно вписать окружность) гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это означает: $a + b = c + c = 2c$.

Подставляем известное значение боковой стороны $c = 5$ см:

$a + b = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

$S_{осн} = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту призмы, найдём её объём.

$V = S_{осн} \cdot H = 15 \cdot 6 = 90$ см³.

Ответ: 90 см³.

Самостоятельная работа № 25

Цилиндр. Конус. Шар

1. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота — 3 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра и его объём.

2. Радиус основания конуса равен 5 см, а высота — 12 см. Найдите объём конуса и площадь его боковой поверхности.

3. Площадь поверхности шара увеличили в 9 раз. Во сколько раз увеличился его объём?

1.

Дано: радиус основания цилиндра $R = 6$ см, высота $H = 3$ см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 H$

Подставляем значения:

$V = \pi \cdot 6^2 \cdot 3 = \pi \cdot 36 \cdot 3 = 108\pi$ (см³)

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и двух площадей основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь основания (круга):

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$ (см²)

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi \cdot 6 \cdot 3 = 36\pi$ (см²)

Площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 36\pi + 2 \cdot 36\pi = 36\pi + 72\pi = 108\pi$ (см²)

Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна $108\pi$ см², объём равен $108\pi$ см³.

2.

Дано: радиус основания конуса $R = 5$ см, высота $H = 12$ см.

Объём конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Подставляем значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ (см³)

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi R l$, где $l$ — длина образующей.

Образующую $l$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $l$ (которая является гипотенузой):

$l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ (см)

Теперь находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$ (см²)

Ответ: объём конуса равен $100\pi$ см³, площадь боковой поверхности равна $65\pi$ см².

3.

Площадь поверхности шара ($S$) и его объём ($V$) выражаются через радиус ($R$) следующими формулами:

$S = 4\pi R^2$

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Пусть $S_1$ и $R_1$ — начальные площадь поверхности и радиус шара, а $S_2$ и $R_2$ — конечные.

По условию, площадь поверхности увеличилась в 9 раз, то есть:

$S_2 = 9 S_1$

Подставим формулы для площади поверхности:

$4\pi R_2^2 = 9 \cdot (4\pi R_1^2)$

Сократим $4\pi$:

$R_2^2 = 9 R_1^2$

Извлечем квадратный корень:

$R_2 = 3 R_1$

Это означает, что радиус шара увеличился в 3 раза.

Теперь найдем, во сколько раз увеличился объём. Сравним конечный объём $V_2$ с начальным $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_2^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = (\frac{R_2}{R_1})^3$

Так как мы выяснили, что $R_2 = 3 R_1$, то $\frac{R_2}{R_1} = 3$. Подставим это значение в отношение объёмов:

$\frac{V_2}{V_1} = 3^3 = 27$

Таким образом, объём шара увеличился в 27 раз.

Ответ: объём увеличился в 27 раз.