Страница 30 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Скалярное произведение векторов

1. Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(3; y)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 4$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$. Найдите $|\vec{a} + 4\vec{b}|$.

3. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ отметили точку $F$ так, что $BF : FC = 2 : 3$. Найдите косинус угла между прямыми $DF$ и $AC$.

1.

Угол между двумя ненулевыми векторами определяется знаком их скалярного произведения. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$. Угол является острым, если скалярное произведение положительно, прямым — если оно равно нулю, и тупым — если оно отрицательно.

Для данных векторов $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(3; y)$ найдем их скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + (-7) \cdot y = 12 - 7y$.

Теперь рассмотрим каждый случай.

1) острый

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение больше нуля:

$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$

$12 - 7y > 0$

$12 > 7y$

$y < \frac{12}{7}$

Ответ: $y \in (-\infty; \frac{12}{7})$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю (векторы ортогональны):

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$12 - 7y = 0$

$7y = 12$

$y = \frac{12}{7}$

Ответ: $y = \frac{12}{7}$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение меньше нуля:

$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$

$12 - 7y < 0$

$12 < 7y$

$y > \frac{12}{7}$

Ответ: $y \in (\frac{12}{7}; +\infty)$.

2.

Чтобы найти модуль вектора $|\vec{a} + 4\vec{b}|$, воспользуемся свойством скалярного произведения: $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

$|\vec{a} + 4\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 4\vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 4\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot (\vec{a} \cdot 4\vec{b}) + (4\vec{b}) \cdot (4\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим известные значения: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 4$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$.

Теперь подставим все значения в выражение для квадрата модуля:

$|\vec{a} + 4\vec{b}|^2 = 5^2 + 8(10\sqrt{2}) + 16 \cdot 4^2 = 25 + 80\sqrt{2} + 16 \cdot 16 = 25 + 80\sqrt{2} + 256 = 281 + 80\sqrt{2}$.

Тогда модуль вектора равен:

$|\vec{a} + 4\vec{b}| = \sqrt{281 + 80\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt{281 + 80\sqrt{2}}$.

3.

Для нахождения косинуса угла между прямыми DF и AC введем систему координат. Поместим вершину A квадрата ABCD в начало координат (0, 0). Пусть сторона квадрата равна 5 (это удобно, так как $BF:FC = 2:3$, а $2+3=5$).

Тогда координаты вершин квадрата будут:

A(0; 0), B(5; 0), C(5; 5), D(0; 5).

Точка F лежит на стороне BC. Так как $BF:FC = 2:3$, то длина отрезка $BF$ составляет $\frac{2}{5}$ от длины стороны BC. Длина BC равна 5, значит, $BF = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2$.

Координаты точки F будут (5; 2).

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым DF и AC.

Вектор $\vec{DF}$ имеет координаты: $\vec{DF} = \{x_F - x_D; y_F - y_D\} = \{5 - 0; 2 - 5\} = \{5; -3\}$.

Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты: $\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A\} = \{5 - 0; 5 - 0\} = \{5; 5\}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{DF}$ и $\vec{AC}$ находится по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{DF} \cdot \vec{AC}}{|\vec{DF}| \cdot |\vec{AC}|}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{DF} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 5 + (-3) \cdot 5 = 25 - 15 = 10$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{DF}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.

$|\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{10}{\sqrt{34} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{68}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 17}} = \frac{2}{2\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$.

Так как косинус получился положительным, угол между векторами острый, и он совпадает с углом между прямыми. Рационализируем знаменатель:

$\frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{1 \cdot \sqrt{17}}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{17}}{17}$.

Самостоятельная работа № 18

Преобразование (отображение) фигур

1. Преобразование $f$ четырёхугольника $ABCD$ таково, что $f(A) = B$, $f(B) = C$, $f(C) = D$, $f(D) = A$, а для любой точки $X$ четырёхугольника $ABCD$, отличной от точек $A$, $B$, $C$ и $D$, выполняется равенство $f(X) = X$. Является ли преобразование $f$ тождественным?

2. Опишите какое-нибудь преобразование фигуры, состоящей из всех точек сторон квадрата, при котором её образом является окружность, вписанная в данный квадрат.

3. Каждой точке графика функции $y = \frac{1}{x}$ ставится в соответствие её проекция на:

1) ось абсцисс;

2) прямую $y = x$.

Является ли данное преобразование обратимым?

1.

Тождественное преобразование — это преобразование, при котором каждая точка фигуры отображается сама в себя. То есть для любой точки $P$ фигуры должно выполняться равенство $f(P) = P$.

В условии задачи дано преобразование $f$ четырехугольника $ABCD$, для которого:

• $f(A) = B$
• $f(B) = C$
• $f(C) = D$
• $f(D) = A$
• Для любой точки $X$ четырехугольника, отличной от вершин $A, B, C, D$, выполняется $f(X) = X$.

Рассмотрим вершины четырехугольника, которые являются точками этой фигуры. Так как $A, B, C, D$ — вершины четырехугольника, то они являются различными точками, то есть $A \neq B$, $B \neq C$, и так далее.

Для точки $A$ имеем $f(A) = B$. Поскольку $A \neq B$, условие тождественного преобразования $f(A) = A$ не выполняется. Аналогично, оно не выполняется и для других вершин: $f(B) = C \neq B$, $f(C) = D \neq C$, $f(D) = A \neq D$.

Поскольку существуют точки (а именно, все четыре вершины), которые не отображаются сами в себя, данное преобразование $f$ не является тождественным.

Ответ: Нет, преобразование $f$ не является тождественным.

2.

Пусть дан квадрат и вписанная в него окружность. Обозначим центр квадрата, который также является центром вписанной окружности, как точку $O$.

Опишем преобразование, которое отображает фигуру, состоящую из всех точек сторон квадрата, на вписанную окружность. Таким преобразованием является центральная проекция из центра $O$.

Правило преобразования следующее: для каждой точки $P$, лежащей на одной из сторон квадрата, ее образом $f(P)$ будет точка $Q$, которая является точкой пересечения отрезка $OP$ с вписанной окружностью.

При таком преобразовании:

• Каждая точка $P$ на сторонах квадрата однозначно отобразится в некоторую точку $Q$ на окружности.
• Для каждой точки $Q$ на вписанной окружности найдется единственная точка $P$ на сторонах квадрата (точка пересечения луча $OQ$ со стороной квадрата), для которой $f(P) = Q$.

Таким образом, все точки сторон квадрата будут отображены на вписанную окружность.

Ответ: Преобразование, являющееся центральной проекцией из центра квадрата, при котором каждая точка на стороне квадрата отображается в точку пересечения отрезка, соединяющего ее с центром, с вписанной окружностью.

3.

Преобразование является обратимым, если оно взаимно однозначно. Это означает, что разным точкам исходной фигуры должны соответствовать разные точки-образы, и каждая точка-образ должна иметь только один прообраз.

1) ось абсцисс

График функции $y = \frac{1}{x}$ состоит из точек с координатами $(x, \frac{1}{x})$ для всех $x \neq 0$.

Проекция точки $(x_0, y_0)$ на ось абсцисс (ось $Ox$) — это точка $(x_0, 0)$. Таким образом, наше преобразование отображает каждую точку $(x, \frac{1}{x})$ графика в точку $(x, 0)$ на оси абсцисс.

Рассмотрим две различные точки на графике: $P_1(x_1, \frac{1}{x_1})$ и $P_2(x_2, \frac{1}{x_2})$. Так как точки различны, то их абсциссы также различны: $x_1 \neq x_2$.

Их проекции на ось абсцисс — это точки $P'_1(x_1, 0)$ и $P'_2(x_2, 0)$. Поскольку $x_1 \neq x_2$, то и точки $P'_1$ и $P'_2$ различны.

Следовательно, разным точкам графика соответствуют разные точки на оси абсцисс. Преобразование является взаимно однозначным, а значит, обратимым.

Ответ: Да, данное преобразование является обратимым.

2) прямую $y = x$

Рассмотрим две различные точки на графике функции $y = \frac{1}{x}$: точку $P_1(x_1, \frac{1}{x_1})$ и точку $P_2(\frac{1}{x_1}, x_1)$. Эти точки различны, если $x_1 \neq \frac{1}{x_1}$, то есть $x_1^2 \neq 1$, что верно для любого $x_1$ кроме $1$ и $-1$.

Например, возьмем точки $A(2, \frac{1}{2})$ и $B(\frac{1}{2}, 2)$. Это две разные точки на графике функции $y = \frac{1}{x}$.

Точки $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ симметричны относительно прямой $y=x$, так как $x_A = y_B$ и $y_A = x_B$.

Проекцией точки на прямую является основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Так как точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $y=x$, они лежат на одной прямой, перпендикулярной $y=x$, и на одинаковом расстоянии от нее. Следовательно, их ортогональные проекции на прямую $y=x$ совпадают.

Найдем эту общую проекцию. Координаты проекции точки $(x_0, y_0)$ на прямую $y=x$ равны $(\frac{x_0+y_0}{2}, \frac{x_0+y_0}{2})$.

• Для точки $A(2, \frac{1}{2})$ проекцией будет точка с координатами $(\frac{2+1/2}{2}, \frac{2+1/2}{2}) = (\frac{5/2}{2}, \frac{5/2}{2}) = (1.25, 1.25)$.
• Для точки $B(\frac{1}{2}, 2)$ проекцией будет точка с координатами $(\frac{1/2+2}{2}, \frac{1/2+2}{2}) = (\frac{5/2}{2}, \frac{5/2}{2}) = (1.25, 1.25)$.

Таким образом, две разные точки $A(2, \frac{1}{2})$ и $B(\frac{1}{2}, 2)$ с графика функции отображаются в одну и ту же точку $(1.25, 1.25)$ на прямой $y=x$. Преобразование не является взаимно однозначным, следовательно, оно необратимо.

Ответ: Нет, данное преобразование не является обратимым.