Страница 28 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей

через две данные точки

1. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку M (4; -2) и:

1) параллельна прямой $y = 3x + 1$;

2) образует с положительным направлением оси абсцисс угол 30°.

2. Найдите расстояние от точки A (3; -4) до прямой $8x - 15y = 8$.

3. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точки A (6; 0) и B (0; -4) и центр которой принадлежит прямой $3x + y = 4$.

1) Уравнение прямой в общем виде с угловым коэффициентом: $y = kx + b$. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент данной прямой $y = 3x + 1$ равен $k=3$. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой также равен 3. Уравнение искомой прямой принимает вид $y = 3x + b$. Так как прямая проходит через точку $M(4; -2)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению. Подставим значения $x=4$ и $y=-2$ в уравнение, чтобы найти $b$:
$-2 = 3 \cdot 4 + b$
$-2 = 12 + b$
$b = -2 - 12 = -14$
Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = 3x - 14$.
Ответ: $y = 3x - 14$

2) Угловой коэффициент прямой $k$ связан с углом $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, формулой $k = \tan(\alpha)$. По условию, $\alpha = 30^{\circ}$. Найдем угловой коэффициент:
$k = \tan(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$, можно записать в виде $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим координаты точки $M(4; -2)$ и найденный угловой коэффициент $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$:
$y - (-2) = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 4)$
$y + 2 = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{4\sqrt{3}}{3}$
$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{4\sqrt{3}}{3} - 2$
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}$

2. Расстояние $d$ от точки $A(x_0; y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
Сначала приведем уравнение прямой $8x - 15y = 8$ к общему виду, перенеся все члены в одну сторону:
$8x - 15y - 8 = 0$
Отсюда коэффициенты: $A = 8$, $B = -15$, $C = -8$.
Координаты точки $A(3; -4)$, следовательно, $x_0 = 3$ и $y_0 = -4$.
Подставим эти значения в формулу расстояния:
$d = \frac{|8 \cdot 3 + (-15) \cdot (-4) - 8|}{\sqrt{8^2 + (-15)^2}} = \frac{|24 + 60 - 8|}{\sqrt{64 + 225}} = \frac{|76|}{\sqrt{289}} = \frac{76}{17}$.
Ответ: $\frac{76}{17}$

3. Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности $O$, а $R$ — её радиус.
1. Из условия известно, что центр окружности $O(a; b)$ лежит на прямой $3x + y = 4$. Это означает, что его координаты удовлетворяют уравнению этой прямой: $3a + b = 4$. Выразим $b$ через $a$: $b = 4 - 3a$.
2. Окружность проходит через точки $A(6; 0)$ и $B(0; -4)$. Расстояние от центра до любой точки на окружности равно радиусу. Таким образом, расстояния $OA$ и $OB$ равны. Удобнее сравнивать квадраты расстояний: $OA^2 = OB^2$.
$OA^2 = (a - 6)^2 + (b - 0)^2 = (a-6)^2 + b^2$
$OB^2 = (a - 0)^2 + (b - (-4))^2 = a^2 + (b+4)^2$
Приравняем эти выражения:
$(a-6)^2 + b^2 = a^2 + (b+4)^2$
Раскроем скобки:
$a^2 - 12a + 36 + b^2 = a^2 + b^2 + 8b + 16$
Сократим $a^2$ и $b^2$ в обеих частях уравнения:
$-12a + 36 = 8b + 16$
Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:
$36 - 16 = 12a + 8b$
$20 = 12a + 8b$
Разделим обе части на 4 для упрощения:
$5 = 3a + 2b$
3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения координат центра $(a; b)$:
$\begin{cases} b = 4 - 3a \\ 3a + 2b = 5 \end{cases}$
Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:
$3a + 2(4 - 3a) = 5$
$3a + 8 - 6a = 5$
$-3a = 5 - 8$
$-3a = -3$
$a = 1$
Теперь найдем $b$:
$b = 4 - 3(1) = 1$
Итак, центр окружности находится в точке $O(1; 1)$.
4. Чтобы найти радиус, вычислим квадрат расстояния от центра $O(1; 1)$ до любой из точек на окружности, например, до точки $A(6; 0)$:
$R^2 = OA^2 = (6 - 1)^2 + (0 - 1)^2 = 5^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26$.
5. Запишем итоговое уравнение окружности, подставив координаты центра $(a=1, b=1)$ и $R^2=26$ в стандартную форму:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 26$.
Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 26$

Самостоятельная работа № 12

Метод координат

1. Расстояние между точками А и В равно 3. Найдите геометрическое место точек Х таких, что $XA^2 - XB^2 = 5$.

2. Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника АВС равны 24 см и 32 см соответственно. На медиане СМ отметили точку Е так, что $CE : EM = 3 : 1$. Найдите расстояние от точки Е до середины катета АС.

3. Расстояние между точками А и В равно 4 см. Найдите геометрическое место точек С таких, что медиана АМ треугольника АВС равна 6 см.

1.

Введем систему координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат, а точка $B$ лежит на оси Ox. Тогда их координаты будут $A(0; 0)$ и $B(3; 0)$, так как расстояние между ними равно 3.

Пусть искомая точка $X$ имеет координаты $(x; y)$.

Квадрат расстояния от точки $X$ до точки $A$ равен:

$XA^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$

Квадрат расстояния от точки $X$ до точки $B$ равен:

$XB^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

Подставим эти выражения в заданное условие $XA^2 - XB^2 = 5$:

$(x^2 + y^2) - (x^2 - 6x + 9 + y^2) = 5$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + y^2 - x^2 + 6x - 9 - y^2 = 5$

$6x - 9 = 5$

$6x = 14$

$x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Уравнение $x = \frac{7}{3}$ задает прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку $(\frac{7}{3}; 0)$. Эта прямая перпендикулярна отрезку $AB$, который лежит на оси Ox.

Ответ: Геометрическое место точек $X$ — это прямая, перпендикулярная отрезку $AB$ и проходящая через точку $P$ на этом отрезке, такую, что расстояние $AP = \frac{7}{3}$.

2.

Поместим прямоугольный треугольник $ABC$ в систему координат так, чтобы вершина прямого угла $C$ совпадала с началом координат, катет $AC$ лежал на оси Oy, а катет $BC$ — на оси Ox.

Тогда координаты вершин треугольника будут:

$C(0; 0)$

$A(0; 24)$, так как $AC = 24$ см.

$B(32; 0)$, так как $BC = 32$ см.

$CM$ — медиана, значит, $M$ — середина гипотенузы $AB$. Найдем координаты точки $M$ по формуле середины отрезка:

$x_M = \frac{0+32}{2} = 16$

$y_M = \frac{24+0}{2} = 12$

Таким образом, $M(16; 12)$.

Точка $E$ лежит на медиане $CM$ и делит ее в отношении $CE : EM = 3 : 1$, считая от вершины $C$. Найдем координаты точки $E$ по формуле деления отрезка в данном отношении. Так как $C(0;0)$, то координаты $E$ будут составлять $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ от координат точки $M$.

$x_E = \frac{3}{4} x_M = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12$

$y_E = \frac{3}{4} y_M = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$

Итак, точка $E$ имеет координаты $(12; 9)$.

Теперь найдем координаты середины катета $AC$. Обозначим эту точку $K$.

$K$ — середина отрезка $AC$ с концами $A(0; 24)$ и $C(0; 0)$.

$x_K = \frac{0+0}{2} = 0$

$y_K = \frac{24+0}{2} = 12$

Итак, точка $K$ имеет координаты $(0; 12)$.

Наконец, найдем расстояние между точками $E(12; 9)$ и $K(0; 12)$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_E-x_K)^2 + (y_E-y_K)^2} = \sqrt{(12-0)^2 + (9-12)^2} = \sqrt{12^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153}$

Упростим корень: $\sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$.

Ответ: Расстояние от точки $E$ до середины катета $AC$ равно $3\sqrt{17}$ см.

3.

Введем систему координат. Поместим точку $A$ в начало координат, а точку $B$ на ось Ox. Так как расстояние между ними равно 4 см, их координаты будут $A(0; 0)$ и $B(4; 0)$.

Пусть точка $C$ имеет произвольные координаты $(x; y)$.

Медиана $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Найдем координаты точки $M$ — середины отрезка $BC$:

$x_M = \frac{x_B+x_C}{2} = \frac{4+x}{2}$

$y_M = \frac{y_B+y_C}{2} = \frac{0+y}{2} = \frac{y}{2}$

Таким образом, $M\left(\frac{x+4}{2}; \frac{y}{2}\right)$.

По условию, длина медианы $AM$ равна 6 см. Запишем квадрат длины отрезка $AM$:

$AM^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 = 6^2 = 36$

Подставим координаты точек $A$ и $M$:

$\left(\frac{x+4}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{y}{2} - 0\right)^2 = 36$

$\frac{(x+4)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 36$

Умножим обе части уравнения на 4:

$(x+4)^2 + y^2 = 144$

$(x+4)^2 + y^2 = 12^2$

Это уравнение окружности вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

В нашем случае центр окружности находится в точке с координатами $(-4; 0)$, а радиус равен 12.

Центр окружности, точка $O'(-4; 0)$, лежит на прямой, проходящей через точки $A(0; 0)$ и $B(4; 0)$. При этом точка $A$ является серединой отрезка, соединяющего центр окружности $O'$ и точку $B$.

Ответ: Геометрическое место точек $C$ — это окружность с центром в точке $O'$, лежащей на прямой $AB$ на расстоянии 4 от точки $A$ в сторону, противоположную точке $B$, и радиусом 12 см.

Самостоятельная работа № 13

Понятие вектора

1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Укажите вектор, равный вектору:

1) $\vec{AB}$; 2) $\vec{BA}$; 3) $\vec{OC}$; 4) $\vec{OA}$.

2. В прямоугольнике ABCD известно, что $CD = 6$ см, $AC = 10$ см, O — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\vec{AB}|$; 2) $|\vec{BO}|$; 3) $|\vec{AD}|$.

3. Дан четырёхугольник ABCD. Известно, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны и $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$. Определите вид четырёхугольника ABCD.

1) $\vec{AB}$
Равные векторы — это сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ направлены в одну сторону (сонаправлены) и их длины равны. Следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Ответ: $\vec{DC}$.

2) $\vec{BA}$
Вектор $\vec{BA}$ направлен от точки $B$ к точке $A$. Вектор $\vec{CD}$ направлен от точки $C$ к точке $D$. Так как стороны $BA$ и $CD$ параллельны и равны по длине, а направления векторов $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ совпадают, то эти векторы равны. Следовательно, $\vec{BA} = \vec{CD}$.
Ответ: $\vec{CD}$.

3) $\vec{OC}$
В прямоугольнике диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, точка $O$ — середина диагонали $AC$, а значит длины отрезков $AO$ и $OC$ равны. Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой, сонаправлены (оба направлены вдоль прямой от $A$ к $C$) и их длины равны. Таким образом, $\vec{OC} = \vec{AO}$.
Ответ: $\vec{AO}$.

4) $\vec{OA}$
Аналогично предыдущему пункту, так как $O$ — середина $AC$, отрезки $CO$ и $OA$ равны по длине. Векторы $\vec{CO}$ и $\vec{OA}$ лежат на одной прямой, сонаправлены (оба направлены вдоль прямой от $C$ к $A$) и их длины равны. Следовательно, $\vec{OA} = \vec{CO}$.
Ответ: $\vec{CO}$.

1) $|\vec{AB}|$
Модуль вектора $|\vec{AB}|$ равен длине отрезка $AB$. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD$. По условию $CD = 6$ см.
$|\vec{AB}| = AB = 6$ см.
Ответ: $6$ см.

2) $|\vec{BO}|$
Модуль вектора $|\vec{BO}|$ равен длине отрезка $BO$. В прямоугольнике диагонали равны ($AC = BD$) и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Значит, $BO$ — это половина диагонали $BD$.
Поскольку $AC = 10$ см, то и $BD = 10$ см.
$|\vec{BO}| = BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Ответ: $5$ см.

3) $|\vec{AD}|$
Модуль вектора $|\vec{AD}|$ равен длине отрезка $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, в котором $\angle D = 90^\circ$ (так как $ABCD$ — прямоугольник). По теореме Пифагора: $AC^2 = AD^2 + CD^2$.
Подставим известные значения: $10^2 = AD^2 + 6^2$.
$100 = AD^2 + 36$.
$AD^2 = 100 - 36 = 64$.
$AD = \sqrt{64} = 8$ см.
Следовательно, $|\vec{AD}| = 8$ см.
Ответ: $8$ см.

3.
Проанализируем условия задачи для четырёхугольника $ABCD$.
1. Условие, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны, означает, что прямые, на которых они лежат, параллельны, то есть $BC \parallel AD$.
2. Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, является трапецией. Стороны $BC$ и $AD$ — её основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.
3. Условие $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$ означает, что длины боковых сторон трапеции равны ($AB = CD$).
4. Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобедренной (или равнобокой) трапецией.
Стоит отметить, что параллелограмм также удовлетворяет этим условиям (у него $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ не просто коллинеарны, а равны, а также $AB=CD$), но он является частным случаем равнобедренной трапеции. Поэтому наиболее общим и правильным определением для данного четырёхугольника будет равнобедренная трапеция.
Ответ: Равнобедренная трапеция.