Страница 34 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4

Самостоятельная работа № 1

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

1. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 135^\circ \cos 150^\circ \operatorname{ctg} 120^\circ $

2) $ \operatorname{ctg}^2 120^\circ - 8 \cos^2 150^\circ + 2 \operatorname{tg} 0^\circ \sin 130^\circ $

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $ \frac{\sin 73^\circ}{\sin 107^\circ} + \frac{\operatorname{tg} 115^\circ}{\operatorname{tg} 65^\circ} $

2) $ \frac{\cos 24^\circ}{\sin 156^\circ} + \frac{\operatorname{ctg} 11^\circ}{\operatorname{ctg} 169^\circ} $

3. Найдите:

1) $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \cos \alpha = -\frac{1}{4} $

2) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{4} $

1) Для вычисления значения выражения $\sin 135^\circ \cos 150^\circ \operatorname{ctg} 120^\circ$ воспользуемся формулами приведения для углов в диапазоне от 0° до 180°:
$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operatorname{ctg} 120^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{ctg} 60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Теперь перемножим полученные значения:
$\sin 135^\circ \cos 150^\circ \operatorname{ctg} 120^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

2) Для вычисления значения выражения $\operatorname{ctg}^2 120^\circ - 8 \cos^2 150^\circ + 2 \operatorname{tg} 0^\circ \sin 130^\circ$ используем значения из предыдущего пункта, а также учтем, что $\operatorname{tg} 0^\circ = 0$:
$\operatorname{ctg}^2 120^\circ = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$
$\cos^2 150^\circ = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$
Слагаемое $2 \operatorname{tg} 0^\circ \sin 130^\circ = 2 \cdot 0 \cdot \sin 130^\circ = 0$.
Подставим значения в выражение:
$\frac{1}{3} - 8 \cdot \frac{3}{4} + 0 = \frac{1}{3} - \frac{24}{4} = \frac{1}{3} - 6 = \frac{1}{3} - \frac{18}{3} = -\frac{17}{3}$
Ответ: $-\frac{17}{3}$.

1) Упростим каждую дробь в выражении $\frac{\sin 73^\circ}{\sin 107^\circ} + \frac{\operatorname{tg} 115^\circ}{\operatorname{tg} 65^\circ}$ с помощью формул приведения:
В знаменателе первой дроби: $\sin 107^\circ = \sin(180^\circ - 73^\circ) = \sin 73^\circ$.
В числителе второй дроби: $\operatorname{tg} 115^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 65^\circ) = -\operatorname{tg} 65^\circ$.
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$\frac{\sin 73^\circ}{\sin 73^\circ} + \frac{-\operatorname{tg} 65^\circ}{\operatorname{tg} 65^\circ} = 1 + (-1) = 0$.
Ответ: $0$.

2) В выражении $\frac{\cos 24^\circ}{\sin 156^\circ} + \frac{\operatorname{ctg} 11^\circ}{\operatorname{ctg} 169^\circ}$ сначала упростим второе слагаемое:
$\operatorname{ctg} 169^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 11^\circ) = -\operatorname{ctg} 11^\circ$.
Следовательно, $\frac{\operatorname{ctg} 11^\circ}{\operatorname{ctg} 169^\circ} = \frac{\operatorname{ctg} 11^\circ}{-\operatorname{ctg} 11^\circ} = -1$.
Теперь рассмотрим первое слагаемое: $\frac{\cos 24^\circ}{\sin 156^\circ}$. Используя формулу приведения, получаем $\sin 156^\circ = \sin(180^\circ - 24^\circ) = \sin 24^\circ$.
Тогда первое слагаемое равно $\frac{\cos 24^\circ}{\sin 24^\circ} = \operatorname{ctg} 24^\circ$. Это значение невозможно вычислить без калькулятора.
Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что в числителе первого слагаемого должен стоять $\sin 24^\circ$, то решение будет следующим:
$\frac{\sin 24^\circ}{\sin 156^\circ} + \frac{\operatorname{ctg} 11^\circ}{\operatorname{ctg} 169^\circ} = \frac{\sin 24^\circ}{\sin(180^\circ - 24^\circ)} - 1 = \frac{\sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} - 1 = 1 - 1 = 0$.
Ответ: $0$ (при предположении об опечатке в условии, где числитель первой дроби должен быть $\sin 24^\circ$).

1) Дано $\cos \alpha = -\frac{1}{4}$. Угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.
Так как $\cos \alpha < 0$, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). В этой четверти $\sin \alpha > 0$.
Найдем $\sin \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Так как $\sin \alpha > 0$, то $\sin\alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Теперь найдем котангенс по формуле $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{-1/4}{\sqrt{15}/4} = -\frac{1}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{15}}{15}$.

2) Дано $\sin \alpha = \frac{3}{4}$. Угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.
Так как $\sin \alpha > 0$, угол $\alpha$ может находиться как в первой ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), так и во второй ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) четверти.
В первом случае $\cos \alpha$ будет положительным, а во втором — отрицательным.
Найдем $\cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{7}{16}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$.
Оба значения возможны.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Самостоятельная работа № 2

Теорема косинусов

1. Две стороны треугольника относятся как $5 : 8$, а угол между ними составляет $60^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $40$ см.

2. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC = 7$ см, $AD = 3$ см, $CD = 5$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

3. Основание равнобедренного треугольника равно $6$ см, а боковая сторона — $2\sqrt{7}$ см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его боковой стороне.

1. Пусть две стороны треугольника, отношение которых равно 5:8, равны $a = 5x$ и $b = 8x$, где $x$ — некоторый коэффициент. Угол между этими сторонами по условию равен $60^\circ$.
Третью сторону $c$ найдем, используя теорему косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ)$
Подставим известные значения и учтём, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:
$c^2 = (5x)^2 + (8x)^2 - 2(5x)(8x) \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 25x^2 + 64x^2 - 40x^2$
$c^2 = 49x^2$
$c = 7x$ (так как длина стороны должна быть положительной).
Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. По условию $P = 40$ см.
$P = a + b + c = 5x + 8x + 7x = 20x$
$20x = 40$
$x = 2$
Теперь вычислим длины сторон:
$a = 5 \cdot 2 = 10$ см.
$b = 8 \cdot 2 = 16$ см.
$c = 7 \cdot 2 = 14$ см.
Ответ: 10 см, 14 см, 16 см.

2. Если около четырёхугольника можно описать окружность, то такой четырёхугольник является вписанным. Основное свойство вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
Пусть $\angle DAB = \alpha$. Тогда противолежащий ему угол $\angle BCD = 180^\circ - \alpha$.
Рассмотрим диагональ $BD$. Она разделяет четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.
Применим теорему косинусов для $\triangle ABD$, чтобы выразить квадрат диагонали $BD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\alpha)$
$BD^2 = 7^2 + 3^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot \cos(\alpha)$
$BD^2 = 49 + 9 - 42 \cos(\alpha) = 58 - 42 \cos(\alpha)$.
Теперь применим теорему косинусов для $\triangle BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$
Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$BD^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot (-\cos(\alpha))$
$BD^2 = 49 + 25 + 70 \cos(\alpha) = 74 + 70 \cos(\alpha)$.
Теперь у нас есть два выражения для $BD^2$. Приравняем их, чтобы найти $\cos(\alpha)$:
$58 - 42 \cos(\alpha) = 74 + 70 \cos(\alpha)$
$58 - 74 = 70 \cos(\alpha) + 42 \cos(\alpha)$
$-16 = 112 \cos(\alpha)$
$\cos(\alpha) = -\frac{16}{112} = -\frac{1}{7}$.
Подставим найденное значение $\cos(\alpha)$ в любое из выражений для $BD^2$ (например, в первое):
$BD^2 = 58 - 42 \left(-\frac{1}{7}\right) = 58 + 6 = 64$.
$BD = \sqrt{64} = 8$ см.
Ответ: 8 см.

3. Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC = 6$ см и боковыми сторонами $AB = BC = 2\sqrt{7}$ см. Требуется найти медиану, проведённую к боковой стороне, например, медиану $AM$ к стороне $BC$.
По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} = \sqrt{7}$ см.
Для нахождения длины медианы $AM$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $\triangle AMC$. Для этого нам нужно знать $\cos(\angle C)$.
Найдем $\cos(\angle C)$ из треугольника $\triangle ABC$ по теореме косинусов, применив ее к стороне $AB$, противолежащей углу $C$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
$(2\sqrt{7})^2 = 6^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{7} \cdot \cos(\angle C)$
$28 = 36 + 28 - 24\sqrt{7} \cos(\angle C)$
$0 = 36 - 24\sqrt{7} \cos(\angle C)$
$24\sqrt{7} \cos(\angle C) = 36$
$\cos(\angle C) = \frac{36}{24\sqrt{7}} = \frac{3}{2\sqrt{7}}$.
Теперь применим теорему косинусов к $\triangle AMC$ для нахождения стороны $AM$ (медианы):
$AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 \cdot AC \cdot MC \cdot \cos(\angle C)$
$AM^2 = 6^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{3}{2\sqrt{7}}$
$AM^2 = 36 + 7 - 18$
$AM^2 = 25$
$AM = 5$ см.
Ответ: 5 см.

Самостоятельная работа № 3

Теорема синусов

1. На рисунке 13 $AC = a$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABD = \beta$, $BD = c$. Найдите синус угла BAD.

Рис. 13

2. Две стороны треугольника равны $4\sqrt{3}$ см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

3. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а основания относятся как $1 : 17$. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 30 см.

1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ (поскольку $\angle C = 90^\circ$).

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB}$

$\cos(\alpha) = \frac{a}{AB}$

Отсюда выразим сторону $AB$:

$AB = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известны две стороны $AB = \frac{a}{\cos(\alpha)}$ и $BD = c$, а также угол между ними $\angle ABD = \beta$. Нам нужно найти синус угла $BAD$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:

$\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^\circ - (\angle BAD + \beta)$.

Поскольку $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, то $\sin(\angle ADB) = \sin(\angle BAD + \beta)$.

Подставим известные значения и выражения в теорему синусов:

$\frac{c}{\sin(\angle BAD)} = \frac{a/\cos(\alpha)}{\sin(\angle BAD + \beta)}$

Преобразуем это уравнение:

$c \cdot \sin(\angle BAD + \beta) = \frac{a}{\cos(\alpha)} \cdot \sin(\angle BAD)$

$c \cos(\alpha) \sin(\angle BAD + \beta) = a \sin(\angle BAD)$

Используем формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Пусть $\gamma = \angle BAD$.

$c \cos(\alpha) (\sin \gamma \cos \beta + \cos \gamma \sin \beta) = a \sin \gamma$

$c \cos(\alpha) \sin \gamma \cos \beta + c \cos(\alpha) \cos \gamma \sin \beta = a \sin \gamma$

Перегруппируем слагаемые:

$c \cos(\alpha) \cos \gamma \sin \beta = a \sin \gamma - c \cos(\alpha) \sin \gamma \cos \beta$

$c \cos(\alpha) \cos \gamma \sin \beta = (a - c \cos(\alpha) \cos \beta) \sin \gamma$

Разделив обе части на $\cos \gamma$ (предполагая, что $\cos \gamma \neq 0$), получим выражение для тангенса угла $\gamma$:

$\tan \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{c \cos(\alpha) \sin(\beta)}{a - c \cos(\alpha) \cos(\beta)}$

Зная тангенс, мы можем найти синус, используя тождество $1 + \tan^2 \gamma = \frac{1}{\cos^2 \gamma}$ и $\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma$, или проще $\sin \gamma = \frac{\tan \gamma}{\sqrt{1+\tan^2 \gamma}}$ (для острого угла).

Пусть $N = c \cos(\alpha) \sin(\beta)$ и $D = a - c \cos(\alpha) \cos(\beta)$. Тогда $\tan \gamma = \frac{N}{D}$.

$\sin \gamma = \frac{N/D}{\sqrt{1 + (N/D)^2}} = \frac{N}{\sqrt{D^2 + N^2}}$

Найдем $D^2 + N^2$:

$D^2 + N^2 = (a - c \cos(\alpha) \cos(\beta))^2 + (c \cos(\alpha) \sin(\beta))^2$

$= a^2 - 2ac \cos(\alpha) \cos(\beta) + c^2 \cos^2(\alpha) \cos^2(\beta) + c^2 \cos^2(\alpha) \sin^2(\beta)$

$= a^2 - 2ac \cos(\alpha) \cos(\beta) + c^2 \cos^2(\alpha) (\cos^2(\beta) + \sin^2(\beta))$

$= a^2 - 2ac \cos(\alpha) \cos(\beta) + c^2 \cos^2(\alpha)$

Таким образом, синус искомого угла равен:

$\sin(\angle BAD) = \frac{c \cos(\alpha) \sin(\beta)}{\sqrt{a^2 + c^2 \cos^2(\alpha) - 2ac \cos(\alpha) \cos(\beta)}}$

Ответ: $\sin(\angle BAD) = \frac{c \cos(\alpha) \sin(\beta)}{\sqrt{a^2 + c^2 \cos^2(\alpha) - 2ac \cos(\alpha) \cos(\beta)}}$

2.

Пусть стороны треугольника $a = 4\sqrt{3}$ см, $b = 8$ см, а третья сторона равна $c$. По условию, третья сторона равна радиусу описанной окружности, то есть $c = R$.

Согласно обобщенной теореме синусов, для любого треугольника выполняется соотношение:

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

где $C$ - угол, противолежащий стороне $c$.

Подставим в это соотношение условие $c = R$:

$\frac{R}{\sin C} = 2R$

Поскольку $R > 0$, мы можем разделить обе части на $R$:

$\frac{1}{\sin C} = 2 \implies \sin C = \frac{1}{2}$

Угол $C$ в треугольнике может быть равен $30^\circ$ или $150^\circ$. Рассмотрим оба случая.

Для нахождения стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.

Случай 1: $C = 30^\circ$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$c^2 = (4\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2(4\sqrt{3})(8) \cos(30^\circ)$

$c^2 = 48 + 64 - 64\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 112 - 32 \cdot 3 = 112 - 96 = 16$

$c = 4$ см. Проверим условие $c=R$. $R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{4}{2 \cdot (1/2)} = 4$. Условие выполняется.

Случай 2: $C = 150^\circ$

$\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$c^2 = (4\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2(4\sqrt{3})(8) \cos(150^\circ)$

$c^2 = 48 + 64 - 64\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$c^2 = 112 + 32 \cdot 3 = 112 + 96 = 208$

$c = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см. Проверим условие $c=R$. $R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{4\sqrt{13}}{2 \cdot \sin(150^\circ)} = \frac{4\sqrt{13}}{2 \cdot (1/2)} = 4\sqrt{13}$. Условие выполняется.

Оба значения удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 4 см или $4\sqrt{13}$ см.

3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB = CD = c$.

Пусть диагональ $AC$ является биссектрисой тупого угла $\angle BCD$. Тогда $\angle BCA = \angle ACD$.

Так как $BC || AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие. Следовательно, $\angle ACD = \angle CAD$.

Это означает, что треугольник $ACD$ является равнобедренным, и его стороны, лежащие против равных углов, равны: $CD = AD$.

Таким образом, боковая сторона трапеции равна ее большему основанию: $c = AD$.

По условию, основания относятся как $1:17$. Пусть $BC=k$, тогда $AD=17k$.

Следовательно, боковая сторона $c = CD = AD = 17k$.

Найдем длину диагонали $d=AC$. Проведем высоту $CE$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $ED$ равен полуразности оснований:

$ED = \frac{AD-BC}{2} = \frac{17k-k}{2} = 8k$

В прямоугольном треугольнике $CED$ найдем косинус угла $D$:

$\cos(\angle D) = \frac{ED}{CD} = \frac{8k}{17k} = \frac{8}{17}$

Теперь в треугольнике $ACD$ применим теорему косинусов для нахождения диагонали $AC$:

$AC^2 = CD^2 + AD^2 - 2 \cdot CD \cdot AD \cdot \cos(\angle D)$

$d^2 = (17k)^2 + (17k)^2 - 2(17k)(17k) \frac{8}{17}$

$d^2 = 2(17k)^2 - 2(17k)^2 \frac{8}{17} = 2(17k)^2 \left(1 - \frac{8}{17}\right) = 2(17k)^2 \frac{9}{17}$

$d^2 = 2 \cdot 17k^2 \cdot 9 = 306k^2$

$d = \sqrt{306}k = 3\sqrt{34}k$

Любую равнобокую трапецию можно вписать в окружность. Радиус этой окружности $R=30$ см. Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного ее вершинами, например, для $\triangle ACD$.

По обобщенной теореме синусов для $\triangle ACD$:

$\frac{AC}{\sin(\angle D)} = 2R$

Найдем $\sin(\angle D)$, зная $\cos(\angle D) = \frac{8}{17}$ (угол $D$ острый):

$\sin(\angle D) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle D)} = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$

Подставим все известные значения в формулу:

$\frac{3\sqrt{34}k}{15/17} = 2 \cdot 30 = 60$

$\frac{3\sqrt{34}k \cdot 17}{15} = 60$

$\frac{17\sqrt{34}k}{5} = 60$

$17\sqrt{34}k = 300 \implies k = \frac{300}{17\sqrt{34}}$

Теперь найдем длину диагонали $d$:

$d = 3\sqrt{34}k = 3\sqrt{34} \cdot \frac{300}{17\sqrt{34}} = \frac{3 \cdot 300}{17} = \frac{900}{17}$

Ответ: $\frac{900}{17}$ см.