Страница 39 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Координаты вектора

1. Точка $F (-1; 4)$ — конец вектора $\vec{b} (7; -9)$. Найдите координаты начала вектора $\vec{b}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $B(-2; 7)$, $C(-4; 16)$ и $D(1; 5)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $A$.

3. Точки $B (5; -3)$ и $C (5; 4)$ — вершины прямоугольника $ABCD$. Модуль вектора $\vec{AC}$ равен 25. Найдите координаты вершин $B$ и $C$.

1. Точка F (–1; 4) — конец вектора $ \vec{b}(7; –9) $. Найдите координаты начала вектора $ \vec{b} $.

Пусть начало вектора $ \vec{b} $ — точка $ S(x; y) $, а конец — точка $ F(-1; 4) $. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Таким образом, для вектора $ \vec{b}(b_x; b_y) $ имеем:

$ b_x = x_F - x_S $

$ b_y = y_F - y_S $

Подставим известные значения: $ \vec{b}(7; -9) $ и $ F(-1; 4) $.

$ 7 = -1 - x $

$ -9 = 4 - y $

Из первого уравнения находим $ x $:

$ x = -1 - 7 = -8 $

Из второго уравнения находим $ y $:

$ y = 4 - (-9) = 4 + 9 = 13 $

Следовательно, координаты начала вектора — точка $ S(-8; 13) $.

Ответ: $(-8; 13)$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: B(–2; 7), C(–4; 16) и D(1; 5). Используя векторы, найдите координаты вершины A.

В параллелограмме $ ABCD $ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны: $ \vec{AD} = \vec{BC} $ (или $ \vec{AB} = \vec{DC} $).

Пусть искомая вершина $ A $ имеет координаты $ (x; y) $.

Используем равенство векторов $ \vec{AD} = \vec{BC} $.

Найдём координаты вектора $ \vec{BC} $, зная координаты точек $ B(-2; 7) $ и $ C(-4; 16) $:

$ \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-4 - (-2); 16 - 7) = (-2; 9) $

Теперь найдём координаты вектора $ \vec{AD} $, зная координаты точки $ D(1; 5) $ и предполагая $ A(x; y) $:

$ \vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (1 - x; 5 - y) $

Так как $ \vec{AD} = \vec{BC} $, их соответствующие координаты равны:

$ 1 - x = -2 $

$ 5 - y = 9 $

Решим эти уравнения:

$ x = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 $

$ y = 5 - 9 = -4 $

Таким образом, координаты вершины $ A $ равны $ (3; -4) $.

Ответ: $ A(3; -4) $.

3. Точки B (5; –3) и C (5; 4) — вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора $ \vec{AC} $ равен 25. Найдите координаты вершин A и D.

Поскольку $ ABCD $ — прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны. В частности, сторона $ AB $ перпендикулярна стороне $ BC $, а значит $ \vec{AB} \perp \vec{BC} $.

Пусть координаты вершины $ A $ равны $ (x_A; y_A) $.

Найдём координаты вектора $ \vec{BC} $:

$ \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (5 - 5; 4 - (-3)) = (0; 7) $

Найдём координаты вектора $ \vec{AB} $:

$ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (5 - x_A; -3 - y_A) $

Условие перпендикулярности векторов $ \vec{AB} $ и $ \vec{BC} $ — это равенство их скалярного произведения нулю: $ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 $.

$ (5 - x_A) \cdot 0 + (-3 - y_A) \cdot 7 = 0 $

$ 7(-3 - y_A) = 0 $

$ -3 - y_A = 0 \implies y_A = -3 $

Теперь мы знаем, что ордината точки $ A $ равна -3. Найдём её абсциссу, используя условие, что модуль (длина) вектора $ \vec{AC} $ равен 25.

Найдём координаты вектора $ \vec{AC} $:

$ \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (5 - x_A; 4 - (-3)) = (5 - x_A; 7) $

Модуль вектора $ |\vec{AC}| $ вычисляется по формуле $ \sqrt{(x_{AC})^2 + (y_{AC})^2} $.

$ |\vec{AC}| = \sqrt{(5 - x_A)^2 + 7^2} = 25 $

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$ (5 - x_A)^2 + 49 = 625 $

$ (5 - x_A)^2 = 625 - 49 = 576 $

$ 5 - x_A = \pm\sqrt{576} $

$ 5 - x_A = \pm 24 $

Это даёт два возможных значения для $ x_A $:

1) $ 5 - x_A = 24 \implies x_A = 5 - 24 = -19 $. Тогда $ A_1(-19; -3) $.

2) $ 5 - x_A = -24 \implies x_A = 5 + 24 = 29 $. Тогда $ A_2(29; -3) $.

Для каждого случая найдём координаты вершины $ D(x_D; y_D) $. В прямоугольнике, как и в любом параллелограмме, $ \vec{AD} = \vec{BC} $.

$ \vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) $, а $ \vec{BC} = (0; 7) $. Приравнивая координаты, получаем:

$ x_D - x_A = 0 \implies x_D = x_A $

$ y_D - y_A = 7 \implies y_D = y_A + 7 $

Рассмотрим оба случая:

1) Если $ A_1(-19; -3) $, то $ x_D = -19 $ и $ y_D = -3 + 7 = 4 $. Получаем $ D_1(-19; 4) $.

2) Если $ A_2(29; -3) $, то $ x_D = 29 $ и $ y_D = -3 + 7 = 4 $. Получаем $ D_2(29; 4) $.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $ A(-19; -3), D(-19; 4) $ или $ A(29; -3), D(29; 4) $.

Самостоятельная работа № 15

Сложение и вычитание векторов

1. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Найдите:

1) $ \vec{AC} - \vec{DB} + \vec{CB} $;

2) $ \vec{AD} - \vec{BD} + \vec{BA} $;

3) $ \vec{AD} - \vec{BD} - \vec{CB} + \vec{CA} $.

2. Даны точки $F (-4; 1)$ и $K (5; -6)$. Найдите координаты точки $M$ такой, что $ \vec{FM} - \vec{MK} = \vec{0} $.

3. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что $ |\vec{AX} + \vec{BX}| = 6 $, если $ |\vec{AB}| = 8 $.

1) $\vec{AC} - \vec{DB} + \vec{CB}$

Для решения воспользуемся правилами действий с векторами. Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами. В частности, $-\vec{DB} = \vec{BD}$.

Тогда исходное выражение принимает вид:

$\vec{AC} + \vec{BD} + \vec{CB}$

Используя переместительное свойство сложения векторов, сгруппируем слагаемые:

$(\vec{AC} + \vec{CB}) + \vec{BD}$

По правилу треугольника (правилу Шаля) для сложения векторов, сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ равна вектору $\vec{AB}$:

$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$\vec{AB} + \vec{BD}$

Снова применяя правило треугольника, получаем:

$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$

Ответ: $\vec{AD}$

2) $\vec{AD} - \vec{BD} + \vec{BA}$

Заменим вычитание вектора $\vec{BD}$ на сложение с противоположным ему вектором $\vec{DB}$:

$\vec{AD} + \vec{DB} + \vec{BA}$

Применим правило треугольника для первых двух векторов:

$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$

Теперь выражение выглядит так:

$\vec{AB} + \vec{BA}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными, их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AB} - \vec{AB} = \vec{0}$

Ответ: $\vec{0}$

3) $\vec{AD} - \vec{BD} - \vec{CB} + \vec{CA}$

Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами: $-\vec{BD} = \vec{DB}$ и $-\vec{CB} = \vec{BC}$.

Выражение принимает вид:

$\vec{AD} + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CA}$

Это сумма векторов, образующих замкнутый путь (A → D → B → C → A). Сумма таких векторов всегда равна нулевому вектору. Проверим это, последовательно применяя правило треугольника:

Сгруппируем слагаемые:

$(\vec{AD} + \vec{DB}) + (\vec{BC} + \vec{CA})$

Вычислим сумму в каждой скобке:

$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$

$\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$

Тогда итоговое выражение становится равным сумме двух противоположных векторов:

$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AB} - \vec{AB} = \vec{0}$

Ответ: $\vec{0}$

2. Даны точки F (−4; 1) и K (5; −6). Найдите координаты точки М такой, что $\vec{FM} - \vec{MK} = \vec{0}$.

Из данного векторного уравнения $\vec{FM} - \vec{MK} = \vec{0}$ следует, что $\vec{FM} = \vec{MK}$.

Равенство векторов $\vec{FM}$ и $\vec{MK}$ означает, что они сонаправлены и их длины равны. Поскольку у них есть общая точка M (конец первого вектора и начало второго), это означает, что точка M является серединой отрезка FK.

Координаты середины отрезка $M(x_M; y_M)$ с концами в точках $F(x_F; y_F)$ и $K(x_K; y_K)$ находятся по формулам:

$x_M = \frac{x_F + x_K}{2}$

$y_M = \frac{y_F + y_K}{2}$

Подставим известные координаты точек F(−4; 1) и K(5; −6):

$x_M = \frac{-4 + 5}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

$y_M = \frac{1 + (-6)}{2} = \frac{1 - 6}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Таким образом, координаты точки M равны (0.5; -2.5).

Ответ: M(0.5; -2.5)

3. Найдите геометрическое место точек X таких, что $|\vec{AX} + \vec{BX}| = 6$, если $|\vec{AB}| = 8$.

Для упрощения векторной суммы $\vec{AX} + \vec{BX}$ введем точку O — середину отрезка AB. По правилу треугольника для векторов можно выразить векторы $\vec{AX}$ и $\vec{BX}$ через точку O:

$\vec{AX} = \vec{AO} + \vec{OX}$

$\vec{BX} = \vec{BO} + \vec{OX}$

Сложим эти два равенства:

$\vec{AX} + \vec{BX} = (\vec{AO} + \vec{OX}) + (\vec{BO} + \vec{OX}) = (\vec{AO} + \vec{BO}) + 2\vec{OX}$

Так как O — середина отрезка AB, то векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ равны по длине ($|\vec{AO}| = |\vec{BO}| = \frac{1}{2}|\vec{AB}| = 4$) и противоположны по направлению. Это означает, что их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{0}$

Следовательно, выражение для суммы векторов упрощается:

$\vec{AX} + \vec{BX} = 2\vec{OX}$

Теперь подставим этот результат в исходное уравнение:

$|2\vec{OX}| = 6$

Используя свойство длины (модуля) вектора $|k\vec{v}| = |k||\vec{v}|$, получаем:

$2|\vec{OX}| = 6$

$|\vec{OX}| = 3$

Это равенство означает, что расстояние от точки X до фиксированной точки O (середины отрезка AB) постоянно и равно 3. Геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки, является окружностью (в двумерном пространстве) или сферой (в трехмерном).

Поскольку задача рассматривается в контексте планиметрии, искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в точке O (середине отрезка AB) и радиусом R = 3.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом 3.

Самостоятельная работа № 16

Умножение вектора на число.

Применение векторов к решению задач

1. Даны векторы $\vec{a}(-6; 2)$ и $\vec{b}(3; -4)$. Найдите координаты вектора:

1) $\vec{a} + 3\vec{b}$;

2) $5\vec{b} - 2\vec{a}$.

2. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $P$ и $F$ соответственно так, что $AP = \frac{1}{5}AB$, $BF = \frac{5}{6}BC$. Выразите вектор $\vec{PF}$ через векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.

3. На стороне $BC$ и диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $F$ и $K$ так, что $CF : FB = 1 : 8$, $CK : KA = 1 : 9$. Используя векторы, докажите, что точки $D, K$ и $F$ лежат на одной прямой.

1) Для нахождения координат вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$ сначала умножим вектор $\vec{b}$ на число 3, а затем сложим полученный вектор с вектором $\vec{a}$.
Координаты вектора $\vec{a}$: $(-6; 2)$.
Координаты вектора $\vec{b}$: $(3; -4)$.
$3\vec{b} = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-4)) = (9; -12)$.
$\vec{a} + 3\vec{b} = (-6; 2) + (9; -12) = (-6 + 9; 2 + (-12)) = (3; -10)$.
Ответ: $(3; -10)$

2) Для нахождения координат вектора $5\vec{b} - 2\vec{a}$ сначала умножим векторы $\vec{b}$ и $\vec{a}$ на соответствующие числа, а затем найдем разность полученных векторов.
$5\vec{b} = (5 \cdot 3; 5 \cdot (-4)) = (15; -20)$.
$2\vec{a} = (2 \cdot (-6); 2 \cdot 2) = (-12; 4)$.
$5\vec{b} - 2\vec{a} = (15; -20) - (-12; 4) = (15 - (-12); -20 - 4) = (15 + 12; -24) = (27; -24)$.
Ответ: $(27; -24)$

2. Выразим вектор $\vec{PF}$ по правилу треугольника: $\vec{PF} = \vec{PB} + \vec{BF}$.
Поскольку ABCD – параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны, следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$.
По условию $\vec{DA} = \vec{a}$, тогда $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$.
Следовательно, $\vec{BC} = -\vec{a}$.
Из условия $\vec{BF} = \frac{5}{6}\vec{BC}$, получаем: $\vec{BF} = \frac{5}{6}(-\vec{a}) = -\frac{5}{6}\vec{a}$.
Точка P лежит на стороне AB, и по условию $\vec{AP} = \frac{1}{5}\vec{AB}$. Вектор $\vec{PB}$ можно выразить как $\vec{PB} = \vec{AB} - \vec{AP}$.
$\vec{PB} = \vec{AB} - \frac{1}{5}\vec{AB} = \frac{4}{5}\vec{AB}$.
Так как $\vec{AB} = \vec{b}$, то $\vec{PB} = \frac{4}{5}\vec{b}$.
Теперь подставим найденные выражения для $\vec{PB}$ и $\vec{BF}$ в исходную формулу:
$\vec{PF} = \vec{PB} + \vec{BF} = \frac{4}{5}\vec{b} - \frac{5}{6}\vec{a}$.
Ответ: $\vec{PF} = -\frac{5}{6}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

3. Для доказательства того, что точки D, K и F лежат на одной прямой, необходимо показать, что векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$ коллинеарны, то есть один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое число: $\vec{DF} = m \cdot \vec{DK}$.
Введем базисные векторы, отложенные от вершины D: пусть $\vec{DA} = \vec{x}$ и $\vec{DC} = \vec{y}$.
Выразим вектор $\vec{DF}$ через базисные. По правилу треугольника $\vec{DF} = \vec{DC} + \vec{CF}$.
Из условия $CF : FB = 1 : 8$ следует, что $CF = \frac{1}{1+8}BC = \frac{1}{9}BC$. Векторно это записывается как $\vec{CF} = \frac{1}{9}\vec{CB}$.
В параллелограмме ABCD векторы $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$ равны, то есть $\vec{CB} = \vec{DA} = \vec{x}$.
Следовательно, $\vec{CF} = \frac{1}{9}\vec{x}$.
Тогда $\vec{DF} = \vec{y} + \frac{1}{9}\vec{x}$.
Теперь выразим вектор $\vec{DK}$ через базисные. Точка K лежит на диагонали AC. По правилу треугольника $\vec{DK} = \vec{DA} + \vec{AK}$.
Из условия $CK : KA = 1 : 9$ следует, что $AK = \frac{9}{1+9}AC = \frac{9}{10}AC$. Векторно это $\vec{AK} = \frac{9}{10}\vec{AC}$.
Выразим диагональ $\vec{AC}$ через базис: $\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = -\vec{DA} + \vec{DC} = -\vec{x} + \vec{y}$.
Тогда $\vec{AK} = \frac{9}{10}(-\vec{x} + \vec{y})$.
Подставим в выражение для $\vec{DK}$: $\vec{DK} = \vec{x} + \frac{9}{10}(-\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} - \frac{9}{10}\vec{x} + \frac{9}{10}\vec{y} = \frac{1}{10}\vec{x} + \frac{9}{10}\vec{y}$.
Сравним векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$:
$\vec{DF} = \frac{1}{9}\vec{x} + \vec{y} = \frac{1}{9}(\vec{x} + 9\vec{y})$
$\vec{DK} = \frac{1}{10}\vec{x} + \frac{9}{10}\vec{y} = \frac{1}{10}(\vec{x} + 9\vec{y})$
Из этих выражений видно, что $\vec{DF} = \frac{10}{9} \cdot \left( \frac{1}{10}(\vec{x} + 9\vec{y}) \right) = \frac{10}{9}\vec{DK}$.
Поскольку вектор $\vec{DF}$ является произведением вектора $\vec{DK}$ на число ($\frac{10}{9}$), векторы коллинеарны. Так как они имеют общее начало в точке D, то точки D, K и F лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что точки D, K и F лежат на одной прямой.