Страница 40 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Скалярное произведение векторов

1. Даны векторы $\vec{b}(x; -3)$ и $\vec{c}(-2; 7)$. При каких значениях $x$ угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^{\circ}$. Найдите $|3\vec{a} - \vec{b}|$.

3. На стороне $AD$ квадрата $ABCD$ отметили точку $N$ так, что $AN : ND = 4 : 1$. Найдите косинус угла между прямыми $CN$ и $BD$.

1. Даны векторы $\vec{b}(x; -3)$ и $\vec{c}(-2; 7)$.

Тип угла между ненулевыми векторами определяется знаком их скалярного произведения. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{b} \cdot \vec{c} = x_1x_2 + y_1y_2 = x \cdot (-2) + (-3) \cdot 7 = -2x - 21$.

1) острый

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно, то есть $\vec{b} \cdot \vec{c} > 0$.

$-2x - 21 > 0$

$-2x > 21$

$x < -\frac{21}{2}$

$x < -10.5$

Ответ: при $x \in (-\infty; -10.5)$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю, то есть $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.

$-2x - 21 = 0$

$-2x = 21$

$x = -\frac{21}{2}$

$x = -10.5$

Ответ: при $x = -10.5$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно, то есть $\vec{b} \cdot \vec{c} < 0$.

$-2x - 21 < 0$

$-2x < 21$

$x > -\frac{21}{2}$

$x > -10.5$

Ответ: при $x \in (-10.5; +\infty)$.

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ такие, что $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 2$, и угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.

Для нахождения модуля вектора $|3\vec{a} - \vec{b}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

$|3\vec{a} - \vec{b}|^2 = (3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (3\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (3\vec{a} - \vec{b}) = 9(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.

Подставим известные значения в выражение для квадрата модуля:

$|3\vec{a} - \vec{b}|^2 = 9 \cdot 6^2 - 6 \cdot (6\sqrt{3}) + 2^2 = 9 \cdot 36 - 36\sqrt{3} + 4 = 324 - 36\sqrt{3} + 4 = 328 - 36\sqrt{3}$.

Теперь найдем модуль, извлекая квадратный корень:

$|3\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{328 - 36\sqrt{3}} = \sqrt{4(82 - 9\sqrt{3})} = 2\sqrt{82 - 9\sqrt{3}}$.

Ответ: $2\sqrt{82 - 9\sqrt{3}}$.

3. Для нахождения косинуса угла между прямыми $CN$ и $BD$ воспользуемся векторным методом.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ квадрата $ABCD$ находится в начале координат $A(0, 0)$. Поскольку соотношение $AN:ND = 4:1$, удобно принять длину стороны квадрата равной 5. Тогда координаты вершин: $A(0, 0)$, $B(5, 0)$, $C(5, 5)$, $D(0, 5)$.

Точка $N$ лежит на стороне $AD$ и делит её в отношении $4:1$, поэтому $AN = 4$. Координаты точки $N$ будут $N(0, 4)$.

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $CN$ и $BD$:

$\vec{CN} = N - C = (0 - 5; 4 - 5) = (-5; -1)$.

$\vec{BD} = D - B = (0 - 5; 5 - 0) = (-5; 5)$.

Косинус угла $\theta$ между векторами вычисляется по формуле:

$\cos\theta = \frac{\vec{CN} \cdot \vec{BD}}{|\vec{CN}| \cdot |\vec{BD}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{CN} \cdot \vec{BD} = (-5) \cdot (-5) + (-1) \cdot 5 = 25 - 5 = 20$.

Вычислим модули векторов:

$|\vec{CN}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos\theta = \frac{20}{\sqrt{26} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{52}} = \frac{4}{\sqrt{4 \cdot 13}} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

Угол между прямыми принято считать острым, поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Так как $\frac{2}{\sqrt{13}} > 0$, это и есть искомый косинус. Рационализируем знаменатель:

$\frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

Самостоятельная работа № 18

Преобразование (отображение) фигур

1. Преобразование $f$ четырёхугольника $ABCD$ таково, что $f(A) = C$, $f(B) = D$, $f(C) = B$, $f(D) = A$, а для любой точки $X$ четырёхугольника $ABCD$, отличной от точек $A$, $B$, $C$ и $D$, выполняется равенство $f(X) = X$. Является ли преобразование $f$ тождественным?

2. Опишите какое-нибудь преобразование фигуры, состоящей из всех точек сторон квадрата, при котором её образом является окружность, описанная около данного квадрата.

3. Каждой точке графика функции $y = -\frac{1}{x}$ ставится в соответствие её проекция на:

1) ось ординат;

2) прямую $y = -x$.

Является ли данное преобразование обратимым?

1. Тождественное преобразование (или отображение) — это преобразование, которое каждую точку фигуры оставляет на месте, то есть для любой точки $X$ выполняется равенство $f(X) = X$.

В условии задачи дано преобразование $f$ для четырёхугольника $ABCD$. Для вершин этого четырёхугольника указано: $f(A) = C$
$f(B) = D$
$f(C) = B$
$f(D) = A$

Поскольку $A$ и $C$ являются различными вершинами четырёхугольника, то точка $A$ не совпадает с точкой $C$, то есть $A \ne C$. Однако преобразование $f$ отображает точку $A$ в точку $C$. Следовательно, $f(A) \ne A$.

Так как нашлось хотя бы одна точка (в данном случае даже четыре — все вершины), которая не отображается в саму себя, данное преобразование $f$ не является тождественным.

Ответ: Преобразование $f$ не является тождественным.

2. Рассмотрим квадрат, центр которого находится в начале координат $O(0, 0)$. Пусть $P$ — произвольная точка, принадлежащая одной из сторон квадрата.

Искомым преобразованием может быть центральная проекция точек сторон квадрата на описанную около него окружность из центра квадрата.

Описание преобразования: Для любой точки $P$, лежащей на стороне квадрата, её образом $P'$ будет точка пересечения луча $OP$ (луча, выходящего из центра квадрата $O$ и проходящего через точку $P$) с описанной окружностью.

Каждая точка на сторонах квадрата (кроме центра, если бы он принадлежал фигуре) однозначно определяет луч, выходящий из центра. Этот луч пересекает описанную окружность в единственной точке. Таким образом, все точки сторон квадрата будут отображены на все точки окружности, и это отображение будет взаимно-однозначным.

Ответ: Преобразованием является центральная проекция из центра квадрата на описанную около него окружность.

3. Преобразование является обратимым, если оно является взаимно-однозначным, то есть разным точкам исходной фигуры соответствуют разные точки образа, и для любой точки образа существует единственная точка в исходной фигуре, которая в нее отображается.

1) ось ординат;

Проекция точки $P(x_0, y_0)$ на ось ординат (ось $y$) — это точка $P'(0, y_0)$. Для точки на графике функции $y = -\frac{1}{x}$ её координаты равны $(x, -\frac{1}{x})$ при $x \ne 0$. Её проекцией на ось ординат будет точка с координатами $(0, -\frac{1}{x})$.

Проверим, является ли это преобразование обратимым. Пусть две разные точки графика $P_1(x_1, -\frac{1}{x_1})$ и $P_2(x_2, -\frac{1}{x_2})$, где $x_1 \ne x_2$, отображаются в одну и ту же точку на оси ординат. Их проекции: $P'_1(0, -\frac{1}{x_1})$ и $P'_2(0, -\frac{1}{x_2})$. Если $P'_1 = P'_2$, то их ординаты должны быть равны: $-\frac{1}{x_1} = -\frac{1}{x_2}$ Это равенство выполняется только при $x_1 = x_2$. Но мы предположили, что точки разные, то есть $x_1 \ne x_2$. Следовательно, разные точки графика проецируются в разные точки на оси ординат.

Таким образом, преобразование является взаимно-однозначным отображением множества точек графика на ось ординат (за исключением точки $(0,0)$), а значит, оно обратимо.

Ответ: Да, данное преобразование является обратимым.

2) прямую $y = -x$.

Рассмотрим две различные точки на графике функции $y = -\frac{1}{x}$, например, $P_1(2, -\frac{1}{2})$ и $P_2(\frac{1}{2}, -2)$. Обе точки удовлетворяют уравнению функции.

Проекция точки на прямую — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Прямая, перпендикулярная прямой $y = -x$, имеет вид $y = x + b$.

Заметим, что график функции $y = -\frac{1}{x}$ (или $xy = -1$) симметричен относительно прямой $y = -x$. Это означает, что если точка $(a, b)$ лежит на графике, то и точка $(-b, -a)$, симметричная ей относительно прямой $y=-x$, тоже лежит на графике. Действительно, если $b = -\frac{1}{a}$, то для точки $(-b, -a)$ с координатами $x' = -b = \frac{1}{a}$ и $y' = -a$ выполняется равенство $y' = -a = -\frac{1}{1/a} = -\frac{1}{x'}$.

Наши точки $P_1(2, -\frac{1}{2})$ и $P_2(\frac{1}{2}, -2)$ как раз являются парой таких симметричных точек. При проецировании на ось симметрии, пара симметричных точек (не лежащих на самой оси) отображается в одну и ту же точку.

Таким образом, две разные точки $P_1(2, -\frac{1}{2})$ и $P_2(\frac{1}{2}, -2)$ имеют одну и ту же проекцию на прямую $y = -x$. Так как двум разным точкам исходной фигуры соответствует одна точка образа, преобразование не является взаимно-однозначным, а следовательно, не является обратимым.

Ответ: Нет, данное преобразование не является обратимым.