Страница 41 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Движение. Параллельный перенос

1. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $M(-5; 9)$ будет точка $K(-4; 7)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $K$ будет точка $M$.

2. Выполнили параллельный перенос прямой $2x - 3y = 4$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку $F(-3; 1)$.

3. Даны луч, окружность и отрезок $AB$. Постройте отрезок, равный и параллельный отрезку $AB$, так, чтобы его концы принадлежали данному лучу и данной окружности.

1.

Задача состоит из двух частей.

Часть 1: Найти вектор, при параллельном переносе на который образом точки $M(-5; 9)$ будет точка $K(-4; 7)$.
Пусть искомый вектор имеет координаты $\vec{v} = (a; b)$.
При параллельном переносе на вектор $\vec{v}$ точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x+a; y+b)$.
В нашем случае, точка $M(x_M; y_M) = M(-5; 9)$ переходит в точку $K(x_K; y_K) = K(-4; 7)$. Следовательно, мы можем составить систему уравнений:
$x_K = x_M + a$
$y_K = y_M + b$
Подставим известные координаты:
$-4 = -5 + a$
$7 = 9 + b$
Из первого уравнения находим $a$:
$a = -4 - (-5) = -4 + 5 = 1$
Из второго уравнения находим $b$:
$b = 7 - 9 = -2$
Таким образом, вектор параллельного переноса равен $\vec{v} = (1; -2)$. Этот вектор совпадает с вектором $\vec{MK}$.

Часть 2: Найти вектор, при параллельном переносе на который образом точки $K$ будет точка $M$.
Пусть искомый вектор имеет координаты $\vec{u} = (c; d)$.
Теперь точка $K(-4; 7)$ переходит в точку $M(-5; 9)$. Составим систему уравнений:
$x_M = x_K + c$
$y_M = y_K + d$
Подставим известные координаты:
$-5 = -4 + c$
$9 = 7 + d$
Из первого уравнения находим $c$:
$c = -5 - (-4) = -5 + 4 = -1$
Из второго уравнения находим $d$:
$d = 9 - 7 = 2$
Таким образом, вектор параллельного переноса равен $\vec{u} = (-1; 2)$. Этот вектор совпадает с вектором $\vec{KM}$.
Заметим, что $\vec{u} = -\vec{v}$, так как второй перенос является обратным к первому.

Ответ: Вектор переноса из $M$ в $K$ равен $(1; -2)$. Вектор переноса из $K$ в $M$ равен $(-1; 2)$.

2.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. Уравнение исходной прямой: $2x - 3y = 4$. Любая прямая, параллельная данной, имеет уравнение вида $2x - 3y = C$, где $C$ — некоторая константа.

Нам известно, что полученная в результате переноса прямая проходит через точку $F(-3; 1)$. Чтобы найти значение $C$, подставим координаты точки $F$ в уравнение искомой прямой:
$2x - 3y = C$
$2(-3) - 3(1) = C$
$-6 - 3 = C$
$C = -9$

Следовательно, уравнение полученной прямой: $2x - 3y = -9$.

Ответ: $2x - 3y = -9$.

3.

Пусть даны луч $l$, окружность $c$ с центром $O$ и радиусом $R$, и отрезок $AB$. Требуется построить отрезок $CD$ такой, что:

• $C$ лежит на луче $l$ ($C \in l$).
• $D$ лежит на окружности $c$ ($D \in c$).
• Отрезок $CD$ равен и параллелен отрезку $AB$.

Условие, что отрезок $CD$ равен и параллелен отрезку $AB$, означает, что вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{AB}$ (или вектору $\vec{BA}$). Рассмотрим случай, когда $\vec{CD} = \vec{AB}$. Это означает, что точка $D$ является образом точки $C$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v} = \vec{AB}$.

Рассмотрим обратный перенос на вектор $-\vec{v} = \vec{BA}$. При этом переносе точка $C$ будет образом точки $D$. Поскольку точка $D$ принадлежит окружности $c$, ее образ, точка $C$, будет принадлежать образу окружности $c$ при переносе на вектор $\vec{BA}$. Обозначим этот образ $c'$. Окружность $c'$ будет иметь тот же радиус $R$, что и окружность $c$, а ее центр $O'$ будет образом центра $O$ при переносе на вектор $\vec{BA}$.

Таким образом, точка $C$ должна удовлетворять двум условиям:

1. $C$ принадлежит лучу $l$ (по условию).
2. $C$ принадлежит окружности $c'$ (по построению).

Следовательно, искомые точки $C$ являются точками пересечения луча $l$ и построенной окружности $c'$. В зависимости от их взаимного расположения, может быть ноль, одна или две такие точки (а значит, и ноль, одно или два решения).

Алгоритм построения:

1. Определяем вектор параллельного переноса $\vec{u} = \vec{BA}$.
2. Строим точку $O'$ — образ центра $O$ данной окружности $c$ при параллельном переносе на вектор $\vec{u}$. Для этого строим параллелограмм $BAOO'$, где $\vec{OO'} = \vec{BA}$.
3. Строим окружность $c'$ с центром в точке $O'$ и радиусом, равным радиусу данной окружности $c$.
4. Находим точки пересечения построенной окружности $c'$ и данного луча $l$. Обозначим эти точки $C_1, C_2$ (если они существуют).
5. Для каждой найденной точки $C_i$ строим ее образ $D_i$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AB}$. Для этого строим параллелограмм $ABC_iD_i$, где $\vec{C_iD_i} = \vec{AB}$.
6. Полученные отрезки $C_1D_1$ и $C_2D_2$ являются искомыми.

Если рассмотреть случай $\vec{CD} = \vec{BA}$, то алгоритм будет аналогичным, но перенос будет осуществляться на вектор $\vec{AB}$.

Ответ: Описание построения приведено выше. Количество решений (0, 1 или 2) зависит от количества точек пересечения построенной окружности $c'$ и данного луча $l$.

Самостоятельная работа № 20

Осевая симметрия

1. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии правильного шестиугольника $ABCDEF$?

2. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(3; 7)$.

3. Даны точки $K (3; -2)$ и $P (1; -3)$. Точка $X$ принадлежит оси абсцисс. Найдите наименьшее значение выражения $KX + PX$.

1.

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ имеет 6 осей симметрии. Прямая $m$ является осью симметрии в одном из двух случаев:

1) Прямая $m$ проходит через две противолежащие вершины шестиугольника. В шестиугольнике $ABCDEF$ это прямые, проходящие через пары вершин $(A, D)$, $(B, E)$ и $(C, F)$. Всего таких осей три.

2) Прямая $m$ проходит через середины двух противолежащих сторон шестиугольника. В шестиугольнике $ABCDEF$ это прямые, проходящие через середины пар сторон $(AB, DE)$, $(BC, EF)$ и $(CD, FA)$. Таких осей тоже три.

Ответ: Прямая $m$ является осью симметрии правильного шестиугольника, если она проходит через две его противолежащие вершины или через середины двух его противолежащих сторон.

2.

Пусть вершины ромба — A, B, C, D. По условию, диагонали ромба лежат на координатных осях. Это означает, что центр ромба (точка пересечения диагоналей) находится в начале координат O(0; 0), а вершины лежат на осях Ox и Oy. Обозначим полудиагонали как $a$ и $b$. Тогда координаты вершин можно записать как $A(a, 0)$, $C(-a, 0)$, $B(0, b)$ и $D(0, -b)$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Рассмотрим сторону ромба, соединяющую вершины на положительных полуосях, — сторону AB. Координаты ее концов: $A(a, 0)$ и $B(0, b)$. Найдем координаты середины M этой стороны, используя формулу середины отрезка: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{a + 0}{2} = \frac{a}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + b}{2} = \frac{b}{2}$.

Таким образом, середина стороны AB имеет координаты $M(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$.

По условию, середина одной из сторон имеет координаты (3; 7). Так как обе координаты положительны, эта точка находится в первом координатном квадранте, а значит, это и есть середина стороны AB.

Приравняем соответствующие координаты:

$\frac{a}{2} = 3 \Rightarrow a = 6$

$\frac{b}{2} = 7 \Rightarrow b = 14$

Зная значения $a$ и $b$, мы можем определить координаты всех вершин ромба:

• $A(a, 0) \rightarrow A(6, 0)$
• $C(-a, 0) \rightarrow C(-6, 0)$
• $B(0, b) \rightarrow B(0, 14)$
• $D(0, -b) \rightarrow D(0, -14)$

Ответ: Координаты вершин ромба: (6; 0), (-6; 0), (0; 14), (0; -14).

3.

Требуется найти наименьшее значение суммы длин отрезков $KX + PX$, где точки $K$ и $P$ имеют координаты $K(3; -2)$ и $P(1; -3)$, а точка $X$ принадлежит оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что ордината точки $X$ равна нулю, то есть $X(x; 0)$.

Обратим внимание, что точки K и P лежат по одну сторону от оси абсцисс, так как их ординаты (-2 и -3) одного знака. Для решения этой задачи применяется метод симметрии.

Отразим одну из точек, например K, симметрично относительно оси абсцисс. Обозначим полученную точку как K'. При симметрии относительно оси Ox абсцисса точки сохраняется, а ордината меняет знак. Таким образом, координаты точки K' будут $(3; 2)$.

Для любой точки X на оси Ox, расстояние $KX$ равно расстоянию $K'X$ ($KX = K'X$), поскольку ось Ox является серединным перпендикуляром к отрезку KK'.

Следовательно, сумму $KX + PX$ можно заменить на эквивалентную ей сумму $K'X + PX$.

Сумма длин $K'X + PX$ будет наименьшей, когда точки K', X и P лежат на одной прямой (согласно неравенству треугольника). В этом случае наименьшее значение суммы будет равно длине отрезка, соединяющего точки K' и P.

Найдем расстояние между точками $K'(3; 2)$ и $P(1; -3)$ по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$K'P = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

Таким образом, наименьшее значение выражения $KX + PX$ равно $\sqrt{29}$.

Ответ: $\sqrt{29}$.

Самостоятельная работа № 21

Центральная симметрия

1. Точки $K (x; -2)$ и $N (-1; y)$ симметричны относительно точки $D (5; -6)$. Найдите $x$ и $y$.

2. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $2x - 3y = 6$ относительно точки $P (1; -3)$.

3. Даны парабола, прямая и точка. Постройте отрезок с серединой в данной точке, один из концов которого принадлежит данной параболе, а другой — данной прямой.

1. Поскольку точки $K(x; -2)$ и $N(-1; y)$ симметричны относительно точки $D(5; -6)$, точка $D$ является серединой отрезка $KN$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_D = \frac{x_K + x_N}{2}$ и $y_D = \frac{y_K + y_N}{2}$.
Подставим известные значения координат.
Для координаты $x$:
$5 = \frac{x + (-1)}{2}$
$10 = x - 1$
$x = 11$
Для координаты $y$:
$-6 = \frac{-2 + y}{2}$
$-12 = -2 + y$
$y = -10$
Ответ: $x = 11, y = -10$.

2. Прямая, симметричная данной прямой относительно точки, будет ей параллельна (если точка не лежит на прямой). Уравнение прямой, параллельной прямой $2x - 3y = 6$, имеет вид $2x - 3y = C$, где $C$ — некоторая константа.
Сначала проверим, лежит ли точка $P(1; -3)$ на прямой $2x - 3y = 6$:
$2(1) - 3(-3) = 2 + 9 = 11$. Поскольку $11 \neq 6$, точка $P$ не лежит на данной прямой.
Чтобы найти $C$, найдем любую точку на исходной прямой, затем найдем точку, симметричную ей относительно $P$, и подставим координаты этой новой точки в искомое уравнение.
Возьмем точку $A$ на прямой $2x - 3y = 6$. Пусть $x = 3$, тогда $2(3) - 3y = 6 \implies 6 - 3y = 6 \implies y = 0$. Таким образом, точка $A$ имеет координаты $(3; 0)$.
Найдем точку $A'(x'; y')$, симметричную точке $A(3; 0)$ относительно точки $P(1; -3)$. Точка $P$ является серединой отрезка $AA'$.
$x_P = \frac{x_A + x'}{2} \implies 1 = \frac{3 + x'}{2} \implies 2 = 3 + x' \implies x' = -1$.
$y_P = \frac{y_A + y'}{2} \implies -3 = \frac{0 + y'}{2} \implies -6 = y' \implies y' = -6$.
Точка $A'$ имеет координаты $(-1; -6)$ и лежит на искомой прямой.
Подставим ее координаты в уравнение $2x - 3y = C$:
$2(-1) - 3(-6) = C \implies -2 + 18 = C \implies C = 16$.
Следовательно, уравнение искомой прямой: $2x - 3y = 16$.
Ответ: $2x - 3y = 16$.

3. Пусть даны парабола $C$, прямая $L$ и точка $M$. Требуется построить отрезок $AB$ такой, что точка $A$ лежит на параболе $C$, точка $B$ лежит на прямой $L$, а точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $M$. Это свойство является ключом к построению. Если точка $B$ пробегает все точки прямой $L$, то симметричная ей точка $A$ будет пробегать все точки некоторой другой прямой $L'$, которая симметрична прямой $L$ относительно точки $M$.

Таким образом, искомая точка $A$ должна одновременно принадлежать параболе $C$ и прямой $L'$. То есть, точка $A$ является точкой пересечения параболы $C$ и прямой $L'$.

Алгоритм построения следующий:

1. Построить прямую $L'$, симметричную данной прямой $L$ относительно данной точки $M$. Для этого нужно:
   1. Выбрать две произвольные точки $P_1$ и $Q_1$ на прямой $L$.
   2. Построить точку $P_2$, симметричную $P_1$ относительно $M$ (так, чтобы $M$ была серединой отрезка $P_1P_2$).
   3. Построить точку $Q_2$, симметричную $Q_1$ относительно $M$.
   4. Провести прямую $L'$ через точки $P_2$ и $Q_2$.
2. Найти точки пересечения построенной прямой $L'$ и данной параболы $C$. Обозначим одну из этих точек как $A$. В зависимости от взаимного расположения параболы и прямой, таких точек может быть ноль, одна или две.
3. Для каждой найденной точки $A$ построить точку $B$, симметричную точке $A$ относительно точки $M$. Поскольку точка $A$ лежит на $L'$, по построению симметричная ей точка $B$ будет лежать на исходной прямой $L$.
4. Отрезок $AB$ является искомым.

Ответ: Решение задачи сводится к построению прямой, симметричной данной прямой относительно данной точки, нахождению ее точек пересечения с данной параболой (это будут концы искомого отрезка, лежащие на параболе), и последующему построению вторых концов отрезка, симметричных первым относительно той же точки.