Страница 33 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Прямая призма. Пирамида

1. Каждое ребро прямой четырёхугольной призмы равно 10 см, а один из углов основания — $45^\circ$. Найдите площадь поверхности призмы.

2. Основанием пирамиды является треугольник $ABC$, $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $\angle ABC = 30^\circ$. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 5 см.

3. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона трапеции равна 4 см, острый угол — $60^\circ$, а боковое ребро призмы равно 5 см. Найдите объём призмы.

1.

Поскольку призма прямая и четырёхугольная, её основаниями являются два равных четырёхугольника, а боковые грани — прямоугольники. В условии сказано, что каждое ребро призмы равно 10 см. Это означает, что все стороны основания равны 10 см, и высота призмы (равная боковому ребру) также равна 10 см.

Основание призмы — это четырёхугольник, у которого все стороны равны 10 см, то есть ромб. Один из углов этого ромба равен $45^\circ$.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

1. Найдём площадь основания ($S_{осн}$). Площадь ромба можно найти по формуле: $S = a^2 \sin \alpha$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами. $S_{осн} = 10^2 \cdot \sin 45^\circ = 100 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 50\sqrt{2}$ см².

2. Найдём площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Для прямой призмы она равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($H$). Периметр основания (ромба): $P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 10 = 40$ см. Высота призмы $H = 10$ см. $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 40 \cdot 10 = 400$ см².

3. Найдём площадь полной поверхности призмы. $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 50\sqrt{2} + 400 = 100\sqrt{2} + 400$ см².

Ответ: $400 + 100\sqrt{2}$ см².

2.

Объём пирамиды ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания ($S_{осн}$), которым является треугольник $ABC$. Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. В нашем случае даны стороны $AB = 6$ см, $BC = 8$ см и угол между ними $\angle ABC = 30^\circ$. $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ$. Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см².

2. Найдём объём пирамиды. Высота пирамиды по условию $H = 5$ см. $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$ см³.

Ответ: $20$ см³.

3.

Объём прямой призмы ($V$) вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Высота призмы равна её боковому ребру, то есть $H = 5$ см.

1. Найдём площадь основания ($S_{осн}$), то есть площадь трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — её высота.

- Используем свойство описанного четырёхугольника: если в трапецию можно вписать окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Так как трапеция равнобокая, её боковые стороны равны $4$ см. Сумма оснований: $a + b = 4 + 4 = 8$ см.

- Найдём высоту трапеции $h$. Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это боковая сторона трапеции ($4$ см), один из острых углов равен острому углу трапеции ($60^\circ$), а противолежащий этому углу катет — высота трапеции $h$. $h = 4 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

- Теперь можем вычислить площадь трапеции: $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см².

2. Найдём объём призмы. $V = S_{осн} \cdot H = 8\sqrt{3} \cdot 5 = 40\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $40\sqrt{3}$ см³.

Самостоятельная работа № 25

Цилиндр. Конус. Шар

1. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота — 8 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра и его объём.

2. Радиус основания конуса равен 12 см, а высота — 9 см. Найдите объём конуса и площадь его боковой поверхности.

3. Объём шара увеличили в 1000 раз. Во сколько раз увеличилась площадь его поверхности?

1.

Дано: радиус основания цилиндра $r = 5$ см, высота $h = 8$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$), так как у цилиндра два основания.

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \pi r^2$
$S_{осн} = \pi \cdot (5 \text{ см})^2 = 25\pi \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле (длина окружности основания, умноженная на высоту):
$S_{бок} = 2\pi r h$
$S_{бок} = 2\pi \cdot 5 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 80\pi \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 80\pi + 2 \cdot 25\pi = 80\pi + 50\pi = 130\pi \text{ см}^2$.

Объём цилиндра.
Объём цилиндра ($V$) вычисляется как произведение площади основания на высоту:
$V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$
$V = \pi \cdot (5 \text{ см})^2 \cdot 8 \text{ см} = \pi \cdot 25 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 200\pi \text{ см}^3$.

Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна $130\pi \text{ см}^2$, а объём равен $200\pi \text{ см}^3$.

2.

Дано: радиус основания конуса $r = 12$ см, высота $h = 9$ см.

Объём конуса.
Объём конуса ($V$) вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot (12 \text{ см})^2 \cdot 9 \text{ см} = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \text{ см}^2 \cdot 9 \text{ см} = \pi \cdot 144 \cdot 3 \text{ см}^3 = 432\pi \text{ см}^3$.

Площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $l$ — длина образующей конуса.

Образующую $l$ можно найти по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются радиус основания $r$ и высота конуса $h$.
$l^2 = r^2 + h^2$
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(12 \text{ см})^2 + (9 \text{ см})^2} = \sqrt{144 \text{ см}^2 + 81 \text{ см}^2} = \sqrt{225 \text{ см}^2} = 15 \text{ см}$.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \pi \cdot 12 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 180\pi \text{ см}^2$.

Ответ: объём конуса равен $432\pi \text{ см}^3$, площадь его боковой поверхности равна $180\pi \text{ см}^2$.

3.

Пусть начальный радиус шара — $R_1$, начальный объём — $V_1$, а начальная площадь поверхности — $S_1$.
После увеличения радиус стал $R_2$, объём — $V_2$, а площадь поверхности — $S_2$.

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, а площадь его поверхности — по формуле $S = 4\pi R^2$.

Из условия задачи известно, что объём увеличился в 1000 раз:
$V_2 = 1000 \cdot V_1$.

Подставим формулы для объёмов:
$\frac{4}{3}\pi R_2^3 = 1000 \cdot \frac{4}{3}\pi R_1^3$.

Сократив обе части уравнения на $\frac{4}{3}\pi$, получим соотношение для кубов радиусов:
$R_2^3 = 1000 \cdot R_1^3$.

Извлечем кубический корень из обеих частей, чтобы найти, как изменился радиус:
$R_2 = \sqrt[3]{1000} \cdot R_1 = 10 R_1$.
Таким образом, радиус шара увеличился в 10 раз.

Теперь найдем, во сколько раз увеличилась площадь поверхности. Для этого найдем отношение $S_2$ к $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2$.

Так как мы уже знаем, что $\frac{R_2}{R_1} = 10$, подставим это значение в отношение площадей:
$\frac{S_2}{S_1} = (10)^2 = 100$.

Следовательно, площадь поверхности шара увеличилась в 100 раз.

Ответ: площадь его поверхности увеличилась в 100 раз.