Страница 27 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Расстояние между двумя точками

с данными координатами.

Деление отрезка в данном отношении

1. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек

$A (-4; 1)$ и $B (2; -5)$.

2. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (-5; 3)$,

$C (6; -4)$, $D (-4; 6)$. Найдите длину диагонали $BD$.

3. Точки $A (-3; 8)$, $B (8; 4)$ и $C (2; -4)$ — вершины

треугольника $ABC$. Найдите координаты точки пересечения биссектрисы угла $ACB$ со стороной $AB$.

1.

Пусть искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $M(x; 0)$, так как у любой точки на оси абсцисс ордината равна нулю. Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. По условию, точка M равноудалена от точек $A(-4; 1)$ и $B(2; -5)$, это означает, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, то есть $MA = MB$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Найдем квадрат расстояния $MA^2$ между точками $M(x; 0)$ и $A(-4; 1)$:
$MA^2 = (x - (-4))^2 + (0 - 1)^2 = (x + 4)^2 + (-1)^2 = x^2 + 8x + 16 + 1 = x^2 + 8x + 17$.

Найдем квадрат расстояния $MB^2$ между точками $M(x; 0)$ и $B(2; -5)$:
$MB^2 = (x - 2)^2 + (0 - (-5))^2 = (x - 2)^2 + 5^2 = x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 - 4x + 29$.

Теперь приравняем полученные выражения для $MA^2$ и $MB^2$ и решим уравнение относительно $x$:
$x^2 + 8x + 17 = x^2 - 4x + 29$
$8x + 17 = -4x + 29$
$8x + 4x = 29 - 17$
$12x = 12$
$x = 1$

Таким образом, искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $(1; 0)$.

Ответ: $(1; 0)$

2.

В параллелограмме диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$. Точка $O$ является серединой отрезка $AC$ и одновременно серединой отрезка $BD$.

Сначала найдем координаты точки $O$ как середины диагонали $AC$, используя формулу координат середины отрезка $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.
Даны координаты точек $A(-5; 3)$ и $C(6; -4)$.
$x_O = \frac{-5 + 6}{2} = \frac{1}{2}$
$y_O = \frac{3 + (-4)}{2} = -\frac{1}{2}$
Следовательно, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$.

Так как $O$ также является серединой диагонали $BD$, мы можем найти координаты вершины $B(x_B; y_B)$, зная координаты точек $O(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$ и $D(-4; 6)$.
$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x_B + (-4)}{2} \Rightarrow 1 = x_B - 4 \Rightarrow x_B = 5$.
$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} = \frac{y_B + 6}{2} \Rightarrow -1 = y_B + 6 \Rightarrow y_B = -7$.
Таким образом, координаты вершины $B$ — это $(5; -7)$.

Теперь, зная координаты обеих вершин диагонали $B(5; -7)$ и $D(-4; 6)$, найдем ее длину по формуле расстояния между двумя точками.
$BD = \sqrt{(-4 - 5)^2 + (6 - (-7))^2} = \sqrt{(-9)^2 + (13)^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250}$.
Упростим полученное значение: $\sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = 5\sqrt{10}$.

Ответ: $5\sqrt{10}$

3.

Пусть $CK$ — биссектриса угла $ACB$, где точка $K$ — это точка пересечения биссектрисы со стороной $AB$. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае это означает: $\frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC}$.

Сначала вычислим длины сторон $AC$ и $BC$, используя формулу расстояния между точками. Даны координаты вершин: $A(-3; 8)$, $B(8; 4)$, $C(2; -4)$.
$AC = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-4 - 8)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
$BC = \sqrt{(2 - 8)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Таким образом, точка $K$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda = \frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC} = \frac{13}{10}$. Координаты точки $K(x_K; y_K)$, которая делит отрезок с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ в отношении $\lambda = \frac{m}{n}$ (где $m=13, n=10$), находятся по формулам деления отрезка в данном отношении:
$x_K = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$
$y_K = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$

Подставим в формулы координаты точек $A(-3; 8)$, $B(8; 4)$ и значения $m=13$, $n=10$:
$x_K = \frac{10 \cdot (-3) + 13 \cdot 8}{13+10} = \frac{-30 + 104}{23} = \frac{74}{23}$.
$y_K = \frac{10 \cdot 8 + 13 \cdot 4}{13+10} = \frac{80 + 52}{23} = \frac{132}{23}$.
Следовательно, искомые координаты точки пересечения биссектрисы со стороной $AB$ равны $(\frac{74}{23}; \frac{132}{23})$.

Ответ: $(\frac{74}{23}; \frac{132}{23})$

Самостоятельная работа № 9

Уравнение фигуры

1. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + 6x - 14y - 5 = 0$ является уравнением окружности, и укажите координаты её центра и радиус.

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $A(1; -5)$, если центр окружности принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 13.

3. Дана окружность $(x + 10)^2 + (y - 3)^2 = 144$. Найдите уравнение окружности с центром $O_1(-2; -3)$, которая касается данной окружности.

1. Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, приведем его к каноническому виду, используя метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + 6x - 14y - 5 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 14y) - 5 = 0$.

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого используем формулы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для группы с $x$: $x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $3^2 = 9$.

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.

Для группы с $y$: $y^2 - 14y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 7$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $7^2 = 49$.

$y^2 - 14y + 49 = (y-7)^2$.

Теперь подставим это в исходное уравнение. Чтобы уравнение осталось верным, те же числа, что мы добавили в левую часть, нужно добавить и в правую:

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 14y + 49) - 5 = 9 + 49$.

$(x+3)^2 + (y-7)^2 - 5 = 58$.

$(x+3)^2 + (y-7)^2 = 63$.

Мы привели уравнение к каноническому виду. Так как правая часть уравнения $63 > 0$, это действительно уравнение окружности.

Сравнивая с общей формой $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, находим:

Координаты центра $(x_0, y_0) = (-3, 7)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 63$, откуда радиус $R = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(-3; 7)$ и радиусом $3\sqrt{7}$.

2. Пусть центр окружности — точка $O(x_0, y_0)$. По условию, центр принадлежит оси абсцисс, следовательно, его ордината равна нулю: $y_0 = 0$. Таким образом, центр окружности — $O(x_0, 0)$.

Радиус окружности по условию равен $R = 13$.

Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Подставив известные значения, получим: $(x - x_0)^2 + (y - 0)^2 = 13^2$, что равносильно $(x - x_0)^2 + y^2 = 169$.

Окружность проходит через точку $A(1; -5)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x=1$ и $y=-5$ в уравнение:

$(1 - x_0)^2 + (-5)^2 = 169$.

$(1 - x_0)^2 + 25 = 169$.

$(1 - x_0)^2 = 169 - 25$.

$(1 - x_0)^2 = 144$.

Из этого уравнения находим возможные значения для $x_0$:

$1 - x_0 = 12$ или $1 - x_0 = -12$.

В первом случае: $x_0 = 1 - 12 = -11$.

Во втором случае: $x_0 = 1 - (-12) = 1 + 12 = 13$.

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

1) Если центр $O(-11, 0)$, уравнение окружности: $(x - (-11))^2 + y^2 = 169$, то есть $(x + 11)^2 + y^2 = 169$.

2) Если центр $O(13, 0)$, уравнение окружности: $(x - 13)^2 + y^2 = 169$.

Ответ: $(x + 11)^2 + y^2 = 169$ или $(x - 13)^2 + y^2 = 169$.

3. Сначала найдем параметры данной окружности из её уравнения $(x+10)^2 + (y-3)^2 = 144$.

Это уравнение вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Центр первой окружности $O$ имеет координаты $(-10; 3)$.

Радиус первой окружности $R = \sqrt{144} = 12$.

Вторая окружность, уравнение которой нужно найти, имеет центр в точке $O_1(-2; -3)$. Обозначим её радиус как $R_1$. Её уравнение будет иметь вид $(x+2)^2 + (y+3)^2 = R_1^2$.

По условию, окружности касаются. Это означает, что расстояние между их центрами связано с их радиусами. Найдем расстояние $d$ между центрами $O$ и $O_1$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_{O_1} - x_O)^2 + (y_{O_1} - y_O)^2}$

$d = \sqrt{(-2 - (-10))^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-2+10)^2 + (-6)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$.

Существует два случая касания окружностей: внешнее и внутреннее.

1. Внешнее касание: расстояние между центрами равно сумме радиусов, $d = R + R_1$.

$10 = 12 + R_1 \Rightarrow R_1 = 10 - 12 = -2$. Радиус не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен (так как расстояние между центрами $d=10$ меньше радиуса первой окружности $R=12$, центр второй окружности находится внутри первой).

2. Внутреннее касание: расстояние между центрами равно модулю разности радиусов, $d = |R - R_1|$.

$10 = |12 - R_1|$.

Это уравнение имеет два решения:

а) $12 - R_1 = 10 \Rightarrow R_1 = 12 - 10 = 2$.

б) $12 - R_1 = -10 \Rightarrow R_1 = 12 + 10 = 22$.

Оба значения радиуса положительны, следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условию задачи.

Уравнение для первой из них ($R_1 = 2$): $(x+2)^2 + (y+3)^2 = 2^2 = 4$.

Уравнение для второй из них ($R_1 = 22$): $(x+2)^2 + (y+3)^2 = 22^2 = 484$.

Ответ: $(x+2)^2 + (y+3)^2 = 4$ или $(x+2)^2 + (y+3)^2 = 484$.

Самостоятельная работа № 10

Общее уравнение прямой

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

1) C (6; -3) и D (-6; -3);

2) M (-4; 1) и K (-4; -8);

3) A (-2; 1) и B (3; -4).

2. Докажите, что окружность $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20$ и прямая $x - y = 3$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

3. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 5 и которые отсекают на оси ординат хорду длиной 8.

1) Даны точки $C(6; -3)$ и $D(-6; -3)$.
Так как ординаты (координаты $y$) обеих точек одинаковы и равны -3, прямая, проходящая через эти точки, является горизонтальной и параллельна оси абсцисс. Ее уравнение имеет вид $y = const$. В данном случае, $y = -3$.
Общее уравнение прямой: $y + 3 = 0$.
Ответ: $y + 3 = 0$.

2) Даны точки $M(-4; 1)$ и $K(-4; -8)$.
Так как абсциссы (координаты $x$) обеих точек одинаковы и равны -4, прямая, проходящая через эти точки, является вертикальной и параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид $x = const$. В данном случае, $x = -4$.
Общее уравнение прямой: $x + 4 = 0$.
Ответ: $x + 4 = 0$.

3) Даны точки $A(-2; 1)$ и $B(3; -4)$.
Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставим координаты точек A и B:
$\frac{x - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{y - 1}{-4 - 1}$
$\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{-5}$
Умножим обе части уравнения на 5:
$x + 2 = -(y - 1)$
$x + 2 = -y + 1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить общее уравнение прямой:
$x + y + 2 - 1 = 0$
$x + y + 1 = 0$
Ответ: $x + y + 1 = 0$.

2. Даны уравнение окружности $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20$ и уравнение прямой $x - y = 3$.
Чтобы доказать, что они пересекаются, и найти точки пересечения, необходимо решить систему этих двух уравнений.
Из уравнения прямой выразим $x$: $x = y + 3$.
Подставим это выражение в уравнение окружности:
$((y + 3) - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20$
$y^2 + (y - 2)^2 = 20$
$y^2 + y^2 - 4y + 4 = 20$
$2y^2 - 4y - 16 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$y^2 - 2y - 8 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Так как $D = 36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это доказывает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.
Найдем эти корни, которые являются $y$-координатами точек пересечения:
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$
$y_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$
$y_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$
Теперь найдем соответствующие $x$-координаты, используя уравнение $x = y + 3$:
Для $y_1 = 4$: $x_1 = 4 + 3 = 7$. Первая точка пересечения: $(7, 4)$.
Для $y_2 = -2$: $x_2 = -2 + 3 = 1$. Вторая точка пересечения: $(1, -2)$.
Ответ: Окружность и прямая пересекаются, так как система их уравнений имеет два решения. Координаты точек пересечения: $(7, 4)$ и $(1, -2)$.

3. Пусть центр окружности имеет координаты $(x_0, y_0)$. По условию, радиус окружности $R = 5$. Уравнение такой окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = 5^2 = 25$.
Окружность отсекает хорду на оси ординат (оси OY), уравнение которой $x=0$. Длина этой хорды равна 8.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется радиусом окружности, проведенным к одному из концов хорды, перпендикуляром, опущенным из центра окружности на ось OY, и половиной хорды.
В этом треугольнике:
- Гипотенуза — это радиус окружности $R = 5$.
- Один катет — это половина длины хорды, то есть $\frac{8}{2} = 4$.
- Второй катет — это расстояние от центра окружности $(x_0, y_0)$ до оси OY. Это расстояние равно модулю абсциссы центра, то есть $|x_0|$.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$|x_0|^2 + 4^2 = 5^2$
$x_0^2 + 16 = 25$
$x_0^2 = 25 - 16$
$x_0^2 = 9$
Из этого уравнения находим $x_0 = 3$ или $x_0 = -3$.
Координата $y_0$ центра окружности может быть любой, так как ее значение не влияет на длину хорды, отсекаемой на вертикальной оси OY. Таким образом, геометрическое место центров $(x_0, y_0)$ — это множество всех точек, у которых абсцисса равна 3 или -3, то есть две вертикальные прямые $x = 3$ и $x = -3$.
Эти два уравнения можно объединить в одно: $x^2 - 9 = 0$.
Ответ: $x^2 - 9 = 0$.