Страница 20 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Скалярное произведение векторов

1. Даны векторы $ \vec{a}(8; y) $ и $ \vec{c}(-6; 3) $. При каких значениях y угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{c} $:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

2. Даны векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, $ |\vec{a}| = 4 $, $ |\vec{b}| = 5 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ $. Найдите $ |\vec{a} + 3\vec{b}|. $

3. На стороне CD квадрата ABCD отметили точку K так, что $ DK : KC = 3 : 1 $. Найдите косинус угла между прямыми $ AK $ и $ BD $.

1. Угол между векторами зависит от знака их скалярного произведения. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{c}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{c} = x_1x_2 + y_1y_2$.
В нашем случае $\vec{a}(8; y)$ и $\vec{c}(-6; 3)$, поэтому их скалярное произведение равно:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 8 \cdot (-6) + y \cdot 3 = -48 + 3y$.
Теперь рассмотрим каждый случай:

1) острый;
Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно.
$\vec{a} \cdot \vec{c} > 0$
$-48 + 3y > 0$
$3y > 48$
$y > 16$
Ответ: при $y > 16$.

2) прямой;
Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю (векторы ортогональны).
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$
$-48 + 3y = 0$
$3y = 48$
$y = 16$
Ответ: при $y = 16$.

3) тупой?
Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно.
$\vec{a} \cdot \vec{c} < 0$
$-48 + 3y < 0$
$3y < 48$
$y < 16$
Ответ: при $y < 16$.

2. Квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Воспользуемся этим свойством для вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$.
$|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot 3\vec{b} + 3\vec{b} \cdot \vec{a} + 3\vec{b} \cdot 3\vec{b}$
$= |\vec{a}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.
Теперь подставим все известные значения в выражение для квадрата модуля:
$|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = 4^2 + 6(10\sqrt{3}) + 9 \cdot 5^2 = 16 + 60\sqrt{3} + 9 \cdot 25 = 16 + 60\sqrt{3} + 225 = 241 + 60\sqrt{3}$.
Тогда модуль вектора равен квадратному корню из этого выражения:
$|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{241 + 60\sqrt{3}}$.
Ответ: $|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{241 + 60\sqrt{3}}$.

3. Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина A квадрата находится в начале координат $A(0; 0)$. Пусть сторона квадрата имеет длину $4a$, чтобы избежать дробей при вычислении координат точки K. Тогда вершины квадрата будут иметь координаты:
$A(0; 0)$, $B(4a; 0)$, $C(4a; 4a)$, $D(0; 4a)$.
Точка K лежит на стороне CD, и $DK : KC = 3 : 1$. Это означает, что длина отрезка $DK$ составляет $\frac{3}{4}$ длины стороны $CD$.
Вектор $\vec{DC} = C - D = (4a - 0; 4a - 4a) = (4a; 0)$.
Тогда вектор $\vec{DK} = \frac{3}{4}\vec{DC} = \frac{3}{4}(4a; 0) = (3a; 0)$.
Координаты точки K равны сумме координат точки D и вектора $\vec{DK}$:
$K = D + \vec{DK} = (0; 4a) + (3a; 0) = (3a; 4a)$.
Теперь найдем векторы, соответствующие прямым AK и BD:
$\vec{AK} = K - A = (3a - 0; 4a - 0) = (3a; 4a)$.
$\vec{BD} = D - B = (0 - 4a; 4a - 0) = (-4a; 4a)$.
Косинус угла $\theta$ между векторами находится по формуле:
$\cos \theta = \frac{\vec{AK} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AK}| \cdot |\vec{BD}|}$.
Найдем скалярное произведение:
$\vec{AK} \cdot \vec{BD} = (3a) \cdot (-4a) + (4a) \cdot (4a) = -12a^2 + 16a^2 = 4a^2$.
Найдем модули векторов:
$|\vec{AK}| = \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a$.
$|\vec{BD}| = \sqrt{(-4a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{16a^2 + 16a^2} = \sqrt{32a^2} = 4a\sqrt{2}$.
Подставим найденные значения в формулу для косинуса:
$\cos \theta = \frac{4a^2}{5a \cdot 4a\sqrt{2}} = \frac{4a^2}{20a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\cos \theta = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.
Так как скалярное произведение положительно, угол между векторами острый, и его косинус совпадает с косинусом угла между прямыми.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Самостоятельная работа № 18

Преобразование (отображение) фигур

1. Точки $M, P$ и $K$ — середины сторон $AB, BC$ и $CA$ треугольника $ABC$. Преобразование $f$ треугольника $ABC$ таково, что $f(M) = P, f(P) = K, f(K) = M$, а для любой точки $X$ треугольника $ABC$, отличной от точек $M, P$ и $K$, выполняется равенство $f(X) = X$. Является ли преобразование $f$ тождественным?

2. Опишите какое-нибудь преобразование фигуры, состоящей из всех точек сторон остроугольного треугольника, при котором её образом является окружность, описанная около данного треугольника.

3. Каждой точке графика функции $y = -x^2$ ставится в соответствие её проекция на:

1) ось абсцисс;

2) ось ординат.

Является ли данное преобразование обратимым?

1.

Тождественным называется преобразование $E$, которое каждую точку фигуры переводит в себя, то есть для любой точки $X$ фигуры выполняется равенство $E(X) = X$. В условии задачи дано преобразование $f$, для которого существуют точки, не переходящие в себя. Например, точка $M$ (середина стороны $AB$) переходит в точку $P$ (середина стороны $BC$). Так как треугольник $ABC$ не является вырожденным, точки $M$ и $P$ не совпадают, следовательно $f(M) = P \neq M$. Поскольку существует хотя бы одна точка, для которой $f(X) \neq X$, данное преобразование не является тождественным.
Ответ: Нет, данное преобразование не является тождественным.

2.

Фигура, о которой идет речь, — это контур (периметр) остроугольного треугольника. Образом этой фигуры должна стать окружность, описанная около этого треугольника. Опишем одно из возможных преобразований.
1. Найдём центр $O$ описанной окружности данного треугольника $ABC$. Так как треугольник является остроугольным, его центр описанной окружности лежит внутри треугольника.
2. Для любой точки $X$, принадлежащей сторонам треугольника, проведём луч, выходящий из центра $O$ и проходящий через точку $X$.
3. Образом точки $X$ (обозначим его $f(X)$) будет точка пересечения луча $OX$ с описанной окружностью.
Это преобразование называется центральной проекцией из центра описанной окружности на саму окружность. Каждая точка контура треугольника однозначно отобразится на некоторую точку окружности, и при этом образом всего контура будет вся описанная окружность.
Ответ: Преобразование, которое ставит в соответствие каждой точке $X$ на стороне треугольника точку пересечения луча $OX$ с описанной окружностью, где $O$ — центр этой окружности.

3.

Преобразование называется обратимым, если разным точкам исходной фигуры соответствуют разные точки образа. Иными словами, если для любых двух различных точек $A$ и $B$ их образы $f(A)$ и $f(B)$ также различны.

1) ось абсцисс
Каждая точка графика функции $y = -x^2$ имеет координаты $(x_0, -x_0^2)$. Её проекцией на ось абсцисс является точка с координатами $(x_0, 0)$. Разным точкам на параболе $(x_1, -x_1^2)$ и $(x_2, -x_2^2)$ соответствуют разные абсциссы $x_1$ и $x_2$ (если $x_1 \neq x_2$). Следовательно, их проекции на ось абсцисс, точки $(x_1, 0)$ и $(x_2, 0)$, также будут разными. Таким образом, каждой точке на оси абсцисс (которая является образом) соответствует ровно одна точка на графике функции. Значит, преобразование обратимо.
Ответ: Да, данное преобразование является обратимым.

2) ось ординат
Каждая точка графика функции $y = -x^2$ имеет координаты $(x_0, -x_0^2)$. Её проекцией на ось ординат является точка с координатами $(0, -x_0^2)$. Рассмотрим две различные точки на параболе, симметричные относительно оси ординат, например, $A(2, -4)$ и $B(-2, -4)$. Проекцией точки $A(2, -4)$ на ось ординат будет точка $C(0, -4)$. Проекцией точки $B(-2, -4)$ на ось ординат будет та же самая точка $C(0, -4)$. Поскольку двум разным точкам исходной фигуры $A$ и $B$ соответствует одна и та же точка $C$ в образе, преобразование не является обратимым.
Ответ: Нет, данное преобразование не является обратимым.