Страница 17 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Расстояние между двумя точками

с данными координатами.

Деление отрезка в данном отношении

1. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек $A (4; -5)$ и $B (2; 3)$.

2. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (4; -1)$, $B (-2; 7)$, $D (-3; -8)$. Найдите длину диагонали $AC$.

3. Точки $A (2; 0)$, $B (5; -4)$ и $C (13; -10)$ — вершины треугольника $ABC$. Найдите координаты точки пересечения биссектрисы угла $ABC$ со стороной $AC$.

1. Пусть искомая точка $M$, лежащая на оси ординат, имеет координаты $(0; y)$. По определению, любая точка на оси ординат имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(4; -5)$ и $B(2; 3)$, что означает равенство расстояний $MA$ и $MB$: $MA = MB$. Чтобы избежать работы с квадратными корнями, возведем обе части равенства в квадрат: $MA^2 = MB^2$.

Вычислим квадрат расстояния от точки $M(0; y)$ до точки $A(4; -5)$:

$MA^2 = (4-0)^2 + (-5-y)^2 = 4^2 + (-(5+y))^2 = 16 + (5+y)^2 = 16 + 25 + 10y + y^2 = y^2 + 10y + 41$.

Вычислим квадрат расстояния от точки $M(0; y)$ до точки $B(2; 3)$:

$MB^2 = (2-0)^2 + (3-y)^2 = 2^2 + (3-y)^2 = 4 + 9 - 6y + y^2 = y^2 - 6y + 13$.

Теперь приравняем полученные выражения для $MA^2$ и $MB^2$:

$y^2 + 10y + 41 = y^2 - 6y + 13$

Сократим $y^2$ в обеих частях и решим линейное уравнение относительно $y$:

$10y + 41 = -6y + 13$

$10y + 6y = 13 - 41$

$16y = -28$

$y = -\frac{28}{16} = -\frac{7}{4} = -1,75$.

Таким образом, искомая точка на оси ординат имеет координаты $(0; -1,75)$.

Ответ: $(0; -1,75)$.

2. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как $O$. Следовательно, точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$. Сначала найдем координаты точки $O$ как середины отрезка $BD$, используя координаты точек $B(-2; 7)$ и $D(-3; -8)$. Формулы для координат середины отрезка: $x_O = \frac{x_B+x_D}{2}$ и $y_O = \frac{y_B+y_D}{2}$.

$x_O = \frac{-2 + (-3)}{2} = \frac{-5}{2} = -2,5$

$y_O = \frac{7 + (-8)}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5$

Итак, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(-2,5; -0,5)$.

Теперь, зная, что $O$ также является серединой диагонали $AC$, мы можем найти координаты вершины $C(x_C; y_C)$, имея координаты вершины $A(4; -1)$ и середины $O(-2,5; -0,5)$.

$-2,5 = \frac{4 + x_C}{2} \Rightarrow -5 = 4 + x_C \Rightarrow x_C = -5 - 4 = -9$.

$-0,5 = \frac{-1 + y_C}{2} \Rightarrow -1 = -1 + y_C \Rightarrow y_C = 0$.

Координаты вершины $C$ равны $(-9; 0)$.

Наконец, найдем длину диагонали $AC$, используя формулу расстояния между точками $A(4; -1)$ и $C(-9; 0)$:

$AC = \sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C-y_A)^2} = \sqrt{(-9-4)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{(-13)^2 + 1^2} = \sqrt{169 + 1} = \sqrt{170}$.

Ответ: $\sqrt{170}$.

3. Пусть биссектриса угла $ABC$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. В нашем случае это означает:

$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$

Сначала вычислим длины сторон $AB$ и $BC$, используя формулу расстояния между двумя точками.

Длина стороны $AB$ с вершинами $A(2; 0)$ и $B(5; -4)$:

$AB = \sqrt{(5-2)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Длина стороны $BC$ с вершинами $B(5; -4)$ и $C(13; -10)$:

$BC = \sqrt{(13-5)^2 + (-10-(-4))^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$.

Теперь мы можем найти отношение, в котором биссектриса делит сторону $AC$:

$\frac{AK}{KC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Это означает, что точка $K$ делит отрезок $AC$ в отношении $1:2$, считая от точки $A$. Обозначим это отношение как $m:n = 1:2$. Для нахождения координат точки $K(x_K; y_K)$, которая делит отрезок с концами $A(x_A; y_A)$ и $C(x_C; y_C)$ в отношении $m:n$, используются формулы:

$x_K = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_C}{m+n}$

$y_K = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_C}{m+n}$

Подставим известные значения: $m=1$, $n=2$, $A(2; 0)$ и $C(13; -10)$:

$x_K = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 13}{1+2} = \frac{4+13}{3} = \frac{17}{3}$.

$y_K = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot (-10)}{1+2} = \frac{0-10}{3} = -\frac{10}{3}$.

Следовательно, координаты точки пересечения биссектрисы угла $ABC$ со стороной $AC$ равны $(\frac{17}{3}; -\frac{10}{3})$.

Ответ: $(\frac{17}{3}; -\frac{10}{3})$.

Самостоятельная работа № 9

Уравнение фигуры

1. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 10 = 0$ является уравнением окружности, и укажите координаты её центра и радиус.

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $M (2; -3)$, если центр окружности принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 5.

3. Дана окружность $(x + 9)^2 + (y - 7)^2 = 196$. Найдите уравнение окружности с центром $O_1 (-4; -5)$, которая касается данной окружности.

1.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, приведем его к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Для этого используем метод выделения полных квадратов.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 10 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) - 10 = 0$.

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для $x^2 + 6x$ нужно добавить и вычесть $(6/2)^2 = 3^2 = 9$. Для $y^2 - 2y$ нужно добавить и вычесть $(2/2)^2 = 1^2 = 1$.

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 2y + 1) - 1 - 10 = 0$.

Свернем полные квадраты:

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 - 9 - 1 - 10 = 0$.

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 - 20 = 0$.

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 20$.

Это уравнение соответствует каноническому виду уравнения окружности. Сравнивая его с $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, находим:

• Координаты центра: $a = -3$, $b = 1$. Центр $O(-3; 1)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 20$. Радиус $R = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(-3; 1)$ и радиусом $2\sqrt{5}$.

2.

Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

По условию, центр окружности принадлежит оси абсцисс, значит его координата $y$ равна нулю, то есть центр имеет координаты $(a, 0)$.

Радиус окружности, по условию, равен 5, то есть $R=5$.

Таким образом, уравнение окружности принимает вид: $(x-a)^2 + (y-0)^2 = 5^2$ или $(x-a)^2 + y^2 = 25$.

Окружность проходит через точку $M(2; -3)$. Подставим координаты этой точки в уравнение окружности, чтобы найти значение $a$:

$(2-a)^2 + (-3)^2 = 25$.

$(2-a)^2 + 9 = 25$.

$(2-a)^2 = 16$.

Отсюда получаем два возможных значения для $(2-a)$:

1) $2-a = 4 \implies a = 2 - 4 = -2$.

2) $2-a = -4 \implies a = 2 + 4 = 6$.

Следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

1) Если $a=-2$, центр находится в точке $(-2, 0)$, и уравнение окружности: $(x+2)^2 + y^2 = 25$.

2) Если $a=6$, центр находится в точке $(6, 0)$, и уравнение окружности: $(x-6)^2 + y^2 = 25$.

Ответ: $(x+2)^2 + y^2 = 25$ или $(x-6)^2 + y^2 = 25$.

3.

Найдем параметры данной окружности из уравнения $(x + 9)^2 + (y - 7)^2 = 196$.

Центр $O_0$ имеет координаты $(-9; 7)$.

Радиус $R_0 = \sqrt{196} = 14$.

Искомая окружность имеет центр в точке $O_1(-4; -5)$. Обозначим ее радиус как $R_1$.

Две окружности касаются, если расстояние между их центрами равно сумме или разности их радиусов.

Найдем расстояние $d$ между центрами $O_0$ и $O_1$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2}$.

$d = \sqrt{(-4 - (-9))^2 + (-5 - 7)^2} = \sqrt{(-4+9)^2 + (-12)^2} = \sqrt{5^2 + 144} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Возможны два случая касания:

1) Внешнее касание: расстояние между центрами равно сумме радиусов, $d = R_0 + R_1$.

$13 = 14 + R_1 \implies R_1 = -1$. Радиус не может быть отрицательным, поэтому внешнее касание невозможно.

2) Внутреннее касание: расстояние между центрами равно модулю разности радиусов, $d = |R_0 - R_1|$.

$13 = |14 - R_1|$.

Это равенство распадается на два случая:

а) $14 - R_1 = 13 \implies R_1 = 14 - 13 = 1$.

б) $14 - R_1 = -13 \implies R_1 = 14 + 13 = 27$.

Таким образом, существуют две окружности с центром $O_1(-4; -5)$, касающиеся данной окружности.

Уравнение первой окружности (с радиусом $R_1 = 1$):

$(x - (-4))^2 + (y - (-5))^2 = 1^2 \implies (x+4)^2 + (y+5)^2 = 1$.

Уравнение второй окружности (с радиусом $R_1 = 27$):

$(x - (-4))^2 + (y - (-5))^2 = 27^2 \implies (x+4)^2 + (y+5)^2 = 729$.

Ответ: $(x+4)^2 + (y+5)^2 = 1$ или $(x+4)^2 + (y+5)^2 = 729$.

Самостоятельная работа № 10

Общее уравнение прямой

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

1) C (-1; 5) и D (8; 5);

2) M (9; 2) и K (9; -9);

3) A (-2; -6) и B (4; 7).

2. Докажите, что окружность $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 13$ и прямая $x - y = -4$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

3. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 10 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 12.

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

2. Докажите, что окружность $(x+4)^2 + (y-1)^2 = 13$ и прямая $x - y = -4$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

Уравнение окружности $(x+4)^2 + (y-1)^2 = 13$ имеет центр в точке $O(-4; 1)$ и радиус $R = \sqrt{13}$.

Уравнение прямой $x - y = -4$ можно записать в общем виде как $x - y + 4 = 0$.

Для доказательства пересечения найдем расстояние $d$ от центра окружности $O(-4; 1)$ до прямой $x - y + 4 = 0$ по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$:

$d = \frac{|1 \cdot (-4) - 1 \cdot 1 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4 - 1 + 4|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Теперь сравним расстояние $d$ с радиусом $R$. $d = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$, а $R = \sqrt{13} \approx 3.606$. Так как $d < R$, прямая пересекает окружность в двух точках.

Чтобы найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} (x+4)^2 + (y-1)^2 = 13 \\ x - y = -4 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y - 4$.

Подставим это выражение в уравнение окружности:

$((y-4)+4)^2 + (y-1)^2 = 13$

$y^2 + (y-1)^2 = 13$

$y^2 + y^2 - 2y + 1 = 13$

$2y^2 - 2y - 12 = 0$

Разделим уравнение на 2: $y^2 - y - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Корни уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

При $y_1 = 3$, $x_1 = 3 - 4 = -1$. Первая точка пересечения: (–1; 3).

При $y_2 = -2$, $x_2 = -2 - 4 = -6$. Вторая точка пересечения: (–6; –2).

Ответ: Координаты точек пересечения (–1; 3) и (–6; –2).

3. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 10 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 12.

Пусть центр искомой окружности имеет координаты $(x_c, y_c)$. Радиус окружности по условию $R = 10$.

Окружность отсекает на оси абсцисс ($y=0$) хорду длиной $L = 12$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр окружности $(x_c, y_c)$, проекция центра на ось абсцисс $(x_c, 0)$ и один из концов хорды на оси абсцисс.

Катетами этого треугольника будут:

1. Расстояние от центра окружности до оси абсцисс, равное $|y_c|$.
2. Половина длины хорды, равная $L/2 = 12/2 = 6$.

Гипотенузой является радиус окружности $R = 10$.

По теореме Пифагора:

$(|y_c|)^2 + 6^2 = 10^2$

$y_c^2 + 36 = 100$

$y_c^2 = 100 - 36$

$y_c^2 = 64$

Отсюда получаем два возможных значения для ординаты центра: $y_c = 8$ и $y_c = -8$.

Абсцисса центра $x_c$ может быть любым действительным числом, так как в условии нет ограничений на ее значение. Следовательно, геометрическое место центров таких окружностей представляет собой две прямые, параллельные оси абсцисс.

Заменив координаты центра $(x_c, y_c)$ на переменные $(x, y)$, получаем уравнения этих прямых.

Ответ: $y = 8$ и $y = -8$.