Номер 8, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Расстояние между двумя точками

с данными координатами.

Деление отрезка в данном отношении

1. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек $A (4; -5)$ и $B (2; 3)$.

2. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (4; -1)$, $B (-2; 7)$, $D (-3; -8)$. Найдите длину диагонали $AC$.

3. Точки $A (2; 0)$, $B (5; -4)$ и $C (13; -10)$ — вершины треугольника $ABC$. Найдите координаты точки пересечения биссектрисы угла $ABC$ со стороной $AC$.

1. Пусть искомая точка $M$, лежащая на оси ординат, имеет координаты $(0; y)$. По определению, любая точка на оси ординат имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(4; -5)$ и $B(2; 3)$, что означает равенство расстояний $MA$ и $MB$: $MA = MB$. Чтобы избежать работы с квадратными корнями, возведем обе части равенства в квадрат: $MA^2 = MB^2$.

Вычислим квадрат расстояния от точки $M(0; y)$ до точки $A(4; -5)$:

$MA^2 = (4-0)^2 + (-5-y)^2 = 4^2 + (-(5+y))^2 = 16 + (5+y)^2 = 16 + 25 + 10y + y^2 = y^2 + 10y + 41$.

Вычислим квадрат расстояния от точки $M(0; y)$ до точки $B(2; 3)$:

$MB^2 = (2-0)^2 + (3-y)^2 = 2^2 + (3-y)^2 = 4 + 9 - 6y + y^2 = y^2 - 6y + 13$.

Теперь приравняем полученные выражения для $MA^2$ и $MB^2$:

$y^2 + 10y + 41 = y^2 - 6y + 13$

Сократим $y^2$ в обеих частях и решим линейное уравнение относительно $y$:

$10y + 41 = -6y + 13$

$10y + 6y = 13 - 41$

$16y = -28$

$y = -\frac{28}{16} = -\frac{7}{4} = -1,75$.

Таким образом, искомая точка на оси ординат имеет координаты $(0; -1,75)$.

Ответ: $(0; -1,75)$.

2. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как $O$. Следовательно, точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$. Сначала найдем координаты точки $O$ как середины отрезка $BD$, используя координаты точек $B(-2; 7)$ и $D(-3; -8)$. Формулы для координат середины отрезка: $x_O = \frac{x_B+x_D}{2}$ и $y_O = \frac{y_B+y_D}{2}$.

$x_O = \frac{-2 + (-3)}{2} = \frac{-5}{2} = -2,5$

$y_O = \frac{7 + (-8)}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5$

Итак, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(-2,5; -0,5)$.

Теперь, зная, что $O$ также является серединой диагонали $AC$, мы можем найти координаты вершины $C(x_C; y_C)$, имея координаты вершины $A(4; -1)$ и середины $O(-2,5; -0,5)$.

$-2,5 = \frac{4 + x_C}{2} \Rightarrow -5 = 4 + x_C \Rightarrow x_C = -5 - 4 = -9$.

$-0,5 = \frac{-1 + y_C}{2} \Rightarrow -1 = -1 + y_C \Rightarrow y_C = 0$.

Координаты вершины $C$ равны $(-9; 0)$.

Наконец, найдем длину диагонали $AC$, используя формулу расстояния между точками $A(4; -1)$ и $C(-9; 0)$:

$AC = \sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C-y_A)^2} = \sqrt{(-9-4)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{(-13)^2 + 1^2} = \sqrt{169 + 1} = \sqrt{170}$.

Ответ: $\sqrt{170}$.

3. Пусть биссектриса угла $ABC$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. В нашем случае это означает:

$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$

Сначала вычислим длины сторон $AB$ и $BC$, используя формулу расстояния между двумя точками.

Длина стороны $AB$ с вершинами $A(2; 0)$ и $B(5; -4)$:

$AB = \sqrt{(5-2)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Длина стороны $BC$ с вершинами $B(5; -4)$ и $C(13; -10)$:

$BC = \sqrt{(13-5)^2 + (-10-(-4))^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$.

Теперь мы можем найти отношение, в котором биссектриса делит сторону $AC$:

$\frac{AK}{KC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Это означает, что точка $K$ делит отрезок $AC$ в отношении $1:2$, считая от точки $A$. Обозначим это отношение как $m:n = 1:2$. Для нахождения координат точки $K(x_K; y_K)$, которая делит отрезок с концами $A(x_A; y_A)$ и $C(x_C; y_C)$ в отношении $m:n$, используются формулы:

$x_K = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_C}{m+n}$

$y_K = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_C}{m+n}$

Подставим известные значения: $m=1$, $n=2$, $A(2; 0)$ и $C(13; -10)$:

$x_K = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 13}{1+2} = \frac{4+13}{3} = \frac{17}{3}$.

$y_K = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot (-10)}{1+2} = \frac{0-10}{3} = -\frac{10}{3}$.

Следовательно, координаты точки пересечения биссектрисы угла $ABC$ со стороной $AC$ равны $(\frac{17}{3}; -\frac{10}{3})$.

Ответ: $(\frac{17}{3}; -\frac{10}{3})$.