Номер 3, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Теорема синусов

1. На рисунке 5 $AC = b$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ADB = \gamma$, $AD = m$. Найдите синус угла ABD.

Рис. 5

2. Две стороны треугольника равны $2\sqrt{3}$ см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

3. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а основания относятся как 3 : 13. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 13 см.

1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По определению синуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\angle ABC) = \sin(\beta) = \frac{AC}{AB}$

Отсюда можем выразить длину гипотенузы AB:

$AB = \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Применим к нему теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов данного треугольника:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

Подставим известные значения AD = m и $\angle ADB = \gamma$:

$\frac{m}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\gamma)}$

Выразим искомый синус угла ABD:

$\sin(\angle ABD) = \frac{m \cdot \sin(\gamma)}{AB}$

Теперь подставим найденное ранее выражение для AB:

$\sin(\angle ABD) = \frac{m \cdot \sin(\gamma)}{\frac{b}{\sin(\beta)}} = \frac{m \cdot \sin(\beta) \cdot \sin(\gamma)}{b}$

Ответ: $\frac{m \cdot \sin(\beta) \cdot \sin(\gamma)}{b}$

2.

Пусть стороны треугольника равны $a = 2\sqrt{3}$ см, $b = 8$ см, а третья сторона $c$ равна радиусу описанной окружности $R$, то есть $c = R$. Пусть $C$ — угол, противолежащий стороне $c$.

Согласно обобщенной теореме синусов:

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

Подставим в это соотношение $c=R$:

$\frac{R}{\sin C} = 2R$

Отсюда находим $\sin C = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$.

Это означает, что угол $C$ может быть равен $30^\circ$ или $150^\circ$.

Для нахождения стороны $c$ применим теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) Если $C = 30^\circ$, то $\cos C = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$c^2 = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 + 64 - 32\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 76 - 16 \cdot 3 = 76 - 48 = 28$.

$c = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см.

2) Если $C = 150^\circ$, то $\cos C = \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$c^2 = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 8 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 12 + 64 + 48 = 124$.

$c = \sqrt{124} = \sqrt{4 \cdot 31} = 2\sqrt{31}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см или $2\sqrt{31}$ см.

3.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания ($AD > BC$), а AB и CD — боковые стороны ($AB=CD$). По условию, $BC : AD = 3 : 13$. Пусть $BC = 3x$, тогда $AD = 13x$. Радиус описанной окружности $R = 13$ см.

Тупые углы в такой трапеции находятся при меньшем основании, это углы $\angle B$ и $\angle C$. Пусть диагональ AC является биссектрисой тупого угла $\angle BCD$. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. Таким образом, треугольник ACD является равнобедренным с основанием AC, а значит, его боковые стороны равны: $CD = AD$.

Так как трапеция равнобокая, $AB = CD$, следовательно, боковая сторона трапеции равна ее большему основанию: $CD = AD = 13x$.

Окружность, описанная около трапеции, также является описанной окружностью для треугольника ACD. Применим обобщенную теорему синусов к треугольнику ACD:

$\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R$

Для нахождения $\sin(\angle ADC)$ проведем высоту CH из вершины C на основание AD. В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13x - 3x}{2} = 5x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Гипотенуза $CD = 13x$, катет $HD = 5x$. По определению косинуса:

$\cos(\angle ADC) = \frac{HD}{CD} = \frac{5x}{13x} = \frac{5}{13}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, найдем синус (синус угла трапеции от $0^\circ$ до $180^\circ$ положителен):

$\sin(\angle ADC) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle ADC)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

Теперь можем найти длину диагонали AC из теоремы синусов:

$AC = 2R \cdot \sin(\angle ADC)$

$AC = 2 \cdot 13 \cdot \frac{12}{13} = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.