Номер 25, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 25

Цилиндр. Конус. Шар

1. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а высота — 6 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра и его объём.

2. Высота конуса равна 15 см, а образующая — 17 см. Найдите объём конуса и площадь его боковой поверхности.

3. Объём шара уменьшили в 64 раза. Во сколько раз уменьшилась площадь его поверхности?

1.

Дано: радиус основания цилиндра $r = 4$ см, высота $h = 6$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$).

Площадь основания (круга): $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 = 48\pi$ см².

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 48\pi + 2 \cdot 16\pi = 48\pi + 32\pi = 80\pi$ см².

Объём цилиндра ($V$) вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$.

Подставим известные значения: $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = \pi \cdot 16 \cdot 6 = 96\pi$ см³.

Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна $80\pi$ см², объём равен $96\pi$ см³.

2.

Дано: высота конуса $h = 15$ см, образующая $l = 17$ см.

Для нахождения объёма и площади боковой поверхности нам нужен радиус основания ($r$). Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$

Отсюда найдём радиус: $r^2 = l^2 - h^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$ $r = \sqrt{64} = 8$ см.

Объём конуса ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим значения: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 15 = \pi \cdot 64 \cdot 5 = 320\pi$ см³.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$.

Подставим значения: $S_{бок} = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi$ см².

Ответ: объём конуса равен $320\pi$ см³, площадь его боковой поверхности равна $136\pi$ см².

3.

Формула объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара. Формула площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$.

Пусть $V_1$ и $R_1$ — первоначальные объём и радиус, а $V_2$ и $R_2$ — новые. По условию, объём уменьшился в 64 раза: $V_2 = \frac{V_1}{64}$.

Запишем это соотношение через радиусы: $\frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{1}{64} \cdot \left(\frac{4}{3}\pi R_1^3\right)$

Упростив, получаем: $R_2^3 = \frac{1}{64} R_1^3$

Извлечём кубический корень из обеих частей, чтобы найти, как изменился радиус: $R_2 = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} \cdot R_1 = \frac{1}{4} R_1$. Значит, радиус уменьшился в 4 раза.

Теперь найдём, как изменилась площадь поверхности. Пусть $S_1$ и $S_2$ — первоначальная и новая площади. Найдём их отношение: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2$.

Так как мы нашли, что $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{4}$, подставим это значение: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.

Это означает, что новая площадь в 16 раз меньше старой.

Ответ: площадь его поверхности уменьшилась в 16 раз.