Номер 21, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Центральная симметрия

1. Точки $A(-4; y)$ и $B(x; 3)$ симметричны относительно точки $K(5; -2)$. Найдите $x$ и $y$.

2. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $2x - 5y = -7$ относительно точки $K(-2; 1)$.

3. Даны парабола, окружность и точка. Постройте отрезок с серединой в данной точке, один из концов которого принадлежит данной параболе, а другой — данной окружности.

1.

Если точки $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ симметричны относительно точки $K(x_K; y_K)$, то точка $K$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$

В нашем случае даны точки $A(-4; y)$, $B(x; 3)$ и центр симметрии $K(5; -2)$. Подставим известные значения в формулы.

Для координаты $x$:

$5 = \frac{-4 + x}{2}$

$10 = -4 + x$

$x = 14$

Для координаты $y$:

$-2 = \frac{y + 3}{2}$

$-4 = y + 3$

$y = -7$

Таким образом, мы нашли искомые значения $x$ и $y$.

Ответ: $x = 14$, $y = -7$.

2.

Пусть дана прямая $L_1$ с уравнением $2x - 5y = -7$ и точка $K(-2; 1)$. Прямая $L_2$, симметричная прямой $L_1$ относительно точки $K$, будет ей параллельна (так как точка $K$ не лежит на прямой $L_1$, что можно проверить подстановкой: $2(-2) - 5(1) = -9 \neq -7$).

Возьмем произвольную точку $M(x; y)$, принадлежащую искомой прямой $L_2$. Точка $M'(x'; y')$, симметричная ей относительно точки $K$, должна принадлежать исходной прямой $L_1$. Координаты точки $M'$ можно выразить через координаты точек $M$ и $K$:

$x_K = \frac{x + x'}{2} \Rightarrow x' = 2x_K - x = 2(-2) - x = -4 - x$

$y_K = \frac{y + y'}{2} \Rightarrow y' = 2y_K - y = 2(1) - y = 2 - y$

Поскольку точка $M'(x'; y')$ лежит на прямой $L_1$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой:

$2x' - 5y' = -7$

Подставим в это уравнение выражения для $x'$ и $y'$:

$2(-4 - x) - 5(2 - y) = -7$

$-8 - 2x - 10 + 5y = -7$

$-2x + 5y - 18 = -7$

$-2x + 5y = 11$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы привести его к виду, схожему с исходным:

$2x - 5y = -11$

Это и есть уравнение искомой прямой $L_2$.

Ответ: $2x - 5y = -11$.

3.

Пусть даны парабола $P$, окружность $C$ и точка $M$. Требуется построить отрезок $AB$ такой, что точка $A$ лежит на параболе $P$, точка $B$ — на окружности $C$, а точка $M$ является его серединой.

Задача решается с помощью центральной симметрии. Если $M$ — середина $AB$, то точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $M$. Это означает, что точка $B$ является образом точки $A$ при центральной симметрии с центром в точке $M$.

Алгоритм построения:

1. Построить образ данной параболы $P$ при центральной симметрии относительно точки $M$. Назовем полученную фигуру $P'$. (Для построения $P'$ можно взять несколько ключевых точек на параболе $P$, построить их симметричные образы относительно $M$ и соединить их плавной кривой).
2. Найти точки пересечения построенной параболы $P'$ с данной окружностью $C$. Каждая такая точка пересечения является возможным положением конца отрезка, который лежит на окружности. Обозначим одну из таких точек как $B$. (Если пересечений нет, то задача не имеет решений).
3. Точка $B$ является одним из концов искомого отрезка. Она принадлежит окружности $C$.
4. Построить точку $A$, симметричную точке $B$ относительно точки $M$. Для этого нужно провести прямую через точки $B$ и $M$ и отложить на ней от точки $M$ отрезок $MA$, равный отрезку $MB$, так, чтобы $M$ находилась между $A$ и $B$.
5. Поскольку точка $B$ по построению лежит на симметричной параболе $P'$, то ее прообраз — точка $A$ — будет лежать на исходной параболе $P$.

Таким образом, построенный отрезок $AB$ удовлетворяет всем условиям задачи: один его конец ($A$) лежит на параболе, другой ($B$) — на окружности, а точка $M$ является его серединой.

Ответ: Описанный выше алгоритм является решением задачи на построение.