Номер 2, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Теорема косинусов

1. Две стороны треугольника относятся как $3 : 8$, а угол между ними составляет $60^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $36$ см.

2. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = AD = 13$ см, $BC = 4$ см, $CD = 14$ см. Найдите диагональ $AC$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

3. Основание равнобедренного треугольника равно $8\sqrt{2}$ см, а боковая сторона — $12$ см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его боковой стороне.

1.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, две стороны относятся как 3 : 8. Пусть это будут стороны $a$ и $b$. Тогда можно записать их как $a = 3x$ и $b = 8x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Угол между этими сторонами равен $60^\circ$. Третью сторону $c$ найдем по теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60^\circ)$

Подставим значения $a$ и $b$, а также учтем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$c^2 = (3x)^2 + (8x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (8x) \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 9x^2 + 64x^2 - 24x^2$

$c^2 = 49x^2$

$c = \sqrt{49x^2} = 7x$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c$. По условию, периметр равен 36 см.

$3x + 8x + 7x = 36$

$18x = 36$

$x = \frac{36}{18} = 2$

Теперь найдем длины сторон треугольника:

$a = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см

$b = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см

$c = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см

Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 14 см и 16 см.

2.

Поскольку около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Свойство вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

Из этого следует, что $\cos(\angle D) = \cos(180^\circ - \angle B) = -\cos(\angle B)$.

Рассмотрим диагональ $AC$.

Из треугольника $ABC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 13^2 + 4^2 - 2 \cdot 13 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 169 + 16 - 104 \cdot \cos(\angle B) = 185 - 104 \cdot \cos(\angle B)$

Из треугольника $ADC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 13^2 + 14^2 - 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 169 + 196 - 364 \cdot \cos(\angle D) = 365 - 364 \cdot \cos(\angle D)$

Заменим $\cos(\angle D)$ на $-\cos(\angle B)$:

$AC^2 = 365 - 364 \cdot (-\cos(\angle B)) = 365 + 364 \cdot \cos(\angle B)$

Приравняем два выражения для $AC^2$:

$185 - 104 \cdot \cos(\angle B) = 365 + 364 \cdot \cos(\angle B)$

$104 \cdot \cos(\angle B) + 364 \cdot \cos(\angle B) = 185 - 365$

$468 \cdot \cos(\angle B) = -180$

$\cos(\angle B) = -\frac{180}{468} = -\frac{5}{13}$

Теперь подставим значение $\cos(\angle B)$ в первое уравнение для $AC^2$:

$AC^2 = 185 - 104 \cdot (-\frac{5}{13}) = 185 + \frac{104 \cdot 5}{13} = 185 + 8 \cdot 5 = 185 + 40 = 225$

$AC = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: диагональ $AC$ равна 15 см.

3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB=BC=12$ см — боковые стороны, а $AC=8\sqrt{2}$ см — основание.

Нужно найти медиану, проведенную к боковой стороне. Пусть это будет медиана $AM$, проведенная к стороне $BC$.

Длину медианы треугольника можно найти по формуле:

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$ , где $m_a$ — медиана к стороне $a$, а $b$ и $c$ — две другие стороны.

В нашем случае медиана $AM$ проведена к стороне $BC$. Значит, $a = BC = 12$, $b = AB = 12$, $c = AC = 8\sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot (AB)^2 + 2 \cdot (AC)^2 - (BC)^2}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot (8\sqrt{2})^2 - 12^2}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 144 + 2 \cdot (64 \cdot 2) - 144}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{288 + 2 \cdot 128 - 144}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{288 + 256 - 144}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{144 + 256}$

$AM = \frac{1}{2}\sqrt{400}$

$AM = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.

Ответ: медиана, проведенная к боковой стороне, равна 10 см.