Номер 9, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 9

Уравнение фигуры

1. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 10 = 0$ является уравнением окружности, и укажите координаты её центра и радиус.

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $M (2; -3)$, если центр окружности принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 5.

3. Дана окружность $(x + 9)^2 + (y - 7)^2 = 196$. Найдите уравнение окружности с центром $O_1 (-4; -5)$, которая касается данной окружности.

1.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, приведем его к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Для этого используем метод выделения полных квадратов.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 10 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) - 10 = 0$.

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для $x^2 + 6x$ нужно добавить и вычесть $(6/2)^2 = 3^2 = 9$. Для $y^2 - 2y$ нужно добавить и вычесть $(2/2)^2 = 1^2 = 1$.

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 2y + 1) - 1 - 10 = 0$.

Свернем полные квадраты:

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 - 9 - 1 - 10 = 0$.

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 - 20 = 0$.

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 20$.

Это уравнение соответствует каноническому виду уравнения окружности. Сравнивая его с $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, находим:

• Координаты центра: $a = -3$, $b = 1$. Центр $O(-3; 1)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 20$. Радиус $R = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(-3; 1)$ и радиусом $2\sqrt{5}$.

2.

Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

По условию, центр окружности принадлежит оси абсцисс, значит его координата $y$ равна нулю, то есть центр имеет координаты $(a, 0)$.

Радиус окружности, по условию, равен 5, то есть $R=5$.

Таким образом, уравнение окружности принимает вид: $(x-a)^2 + (y-0)^2 = 5^2$ или $(x-a)^2 + y^2 = 25$.

Окружность проходит через точку $M(2; -3)$. Подставим координаты этой точки в уравнение окружности, чтобы найти значение $a$:

$(2-a)^2 + (-3)^2 = 25$.

$(2-a)^2 + 9 = 25$.

$(2-a)^2 = 16$.

Отсюда получаем два возможных значения для $(2-a)$:

1) $2-a = 4 \implies a = 2 - 4 = -2$.

2) $2-a = -4 \implies a = 2 + 4 = 6$.

Следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

1) Если $a=-2$, центр находится в точке $(-2, 0)$, и уравнение окружности: $(x+2)^2 + y^2 = 25$.

2) Если $a=6$, центр находится в точке $(6, 0)$, и уравнение окружности: $(x-6)^2 + y^2 = 25$.

Ответ: $(x+2)^2 + y^2 = 25$ или $(x-6)^2 + y^2 = 25$.

3.

Найдем параметры данной окружности из уравнения $(x + 9)^2 + (y - 7)^2 = 196$.

Центр $O_0$ имеет координаты $(-9; 7)$.

Радиус $R_0 = \sqrt{196} = 14$.

Искомая окружность имеет центр в точке $O_1(-4; -5)$. Обозначим ее радиус как $R_1$.

Две окружности касаются, если расстояние между их центрами равно сумме или разности их радиусов.

Найдем расстояние $d$ между центрами $O_0$ и $O_1$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2}$.

$d = \sqrt{(-4 - (-9))^2 + (-5 - 7)^2} = \sqrt{(-4+9)^2 + (-12)^2} = \sqrt{5^2 + 144} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Возможны два случая касания:

1) Внешнее касание: расстояние между центрами равно сумме радиусов, $d = R_0 + R_1$.

$13 = 14 + R_1 \implies R_1 = -1$. Радиус не может быть отрицательным, поэтому внешнее касание невозможно.

2) Внутреннее касание: расстояние между центрами равно модулю разности радиусов, $d = |R_0 - R_1|$.

$13 = |14 - R_1|$.

Это равенство распадается на два случая:

а) $14 - R_1 = 13 \implies R_1 = 14 - 13 = 1$.

б) $14 - R_1 = -13 \implies R_1 = 14 + 13 = 27$.

Таким образом, существуют две окружности с центром $O_1(-4; -5)$, касающиеся данной окружности.

Уравнение первой окружности (с радиусом $R_1 = 1$):

$(x - (-4))^2 + (y - (-5))^2 = 1^2 \implies (x+4)^2 + (y+5)^2 = 1$.

Уравнение второй окружности (с радиусом $R_1 = 27$):

$(x - (-4))^2 + (y - (-5))^2 = 27^2 \implies (x+4)^2 + (y+5)^2 = 729$.

Ответ: $(x+4)^2 + (y+5)^2 = 1$ или $(x+4)^2 + (y+5)^2 = 729$.