Номер 16, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Умножение вектора на число.

Применение векторов к решению задач

1. Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(-3; 6)$. Найдите координаты вектора:

1) $3\vec{a} + \vec{b}$

2) $3\vec{b} - 5\vec{a}$

2. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $E$ и $F$ соответственно так, что $AE = \frac{5}{6}AB$, $BF = \frac{2}{3}BC$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.

3. На стороне $CD$ и диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ так, что $DE : EC = 1 : 6$, $DF : FB = 1 : 7$. Используя векторы, докажите, что точки $A, F$ и $E$ лежат на одной прямой.

1) $3\vec{a} + \vec{b}$

Для нахождения координат вектора $3\vec{a} + \vec{b}$, сначала умножим вектор $\vec{a}(4; -7)$ на число 3. Умножение вектора на число производится покоординатно:

$3\vec{a} = 3 \cdot (4; -7) = (3 \cdot 4; 3 \cdot (-7)) = (12; -21)$

Теперь сложим полученный вектор с вектором $\vec{b}(-3; 6)$. Сложение векторов также производится покоординатно:

$3\vec{a} + \vec{b} = (12; -21) + (-3; 6) = (12 + (-3); -21 + 6) = (9; -15)$

Ответ: $(9; -15)$

2) $3\vec{b} - 5\vec{a}$

Для нахождения координат вектора $3\vec{b} - 5\vec{a}$, сначала найдем координаты векторов $3\vec{b}$ и $5\vec{a}$:

$3\vec{b} = 3 \cdot (-3; 6) = (3 \cdot (-3); 3 \cdot 6) = (-9; 18)$

$5\vec{a} = 5 \cdot (4; -7) = (5 \cdot 4; 5 \cdot (-7)) = (20; -35)$

Теперь выполним вычитание векторов, вычитая соответствующие координаты:

$3\vec{b} - 5\vec{a} = (-9; 18) - (20; -35) = (-9 - 20; 18 - (-35)) = (-29; 18 + 35) = (-29; 53)$

Ответ: $(-29; 53)$

2.

Чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через заданные векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$, представим $\vec{EF}$ в виде суммы векторов по правилу треугольника: $\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF}$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. В нем противоположные стороны параллельны и равны, поэтому справедливы следующие векторные равенства:

$\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$

$\vec{BC} = \vec{AD}$. Так как по условию $\vec{DA} = \vec{a}$, то $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$. Следовательно, $\vec{BC} = -\vec{a}$.

Теперь найдем векторы $\vec{EB}$ и $\vec{BF}$.

Точка E лежит на стороне AB, и по условию $AE = \frac{5}{6}AB$, что в векторном виде записывается как $\vec{AE} = \frac{5}{6}\vec{AB}$. Вектор $\vec{EB}$ можно выразить через $\vec{AB}$ и $\vec{AE}$:

$\vec{EB} = \vec{AB} - \vec{AE} = \vec{AB} - \frac{5}{6}\vec{AB} = (1 - \frac{5}{6})\vec{AB} = \frac{1}{6}\vec{AB}$.

Подставляя $\vec{AB} = \vec{b}$, получаем: $\vec{EB} = \frac{1}{6}\vec{b}$.

Точка F лежит на стороне BC, и по условию $BF = \frac{2}{3}BC$, что в векторном виде записывается как $\vec{BF} = \frac{2}{3}\vec{BC}$.

Подставляя $\vec{BC} = -\vec{a}$, получаем: $\vec{BF} = \frac{2}{3}(-\vec{a}) = -\frac{2}{3}\vec{a}$.

Наконец, находим искомый вектор $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = \frac{1}{6}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a}$.

Ответ: $\vec{EF} = \frac{1}{6}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a}$

3.

Чтобы доказать, что точки A, F и E лежат на одной прямой, необходимо доказать коллинеарность векторов $\vec{AF}$ и $\vec{AE}$, то есть показать, что существует такое число $k$, что $\vec{AE} = k \cdot \vec{AF}$.

Введем базисные векторы с общим началом в точке A: пусть $\vec{AD} = \vec{d}$ и $\vec{AB} = \vec{b}$.

Из свойств параллелограмма имеем: $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{d}$.

Выразим вектор $\vec{AE}$ через базисные векторы. Точка E лежит на стороне CD так, что $DE : EC = 1 : 6$. Это означает, что вектор $\vec{DE}$ составляет $\frac{1}{1+6} = \frac{1}{7}$ от вектора $\vec{DC}$.

$\vec{DE} = \frac{1}{7}\vec{DC} = \frac{1}{7}\vec{b}$.

Теперь выразим $\vec{AE}$ по правилу сложения векторов (правило многоугольника):

$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{d} + \frac{1}{7}\vec{b}$.

Выразим вектор $\vec{AF}$ через базисные векторы. Точка F лежит на диагонали BD так, что $DF : FB = 1 : 7$. Это значит, что точка F делит отрезок BD в отношении 1:7.

Используем формулу для вектора, соединяющего начало координат с точкой, делящей отрезок в заданном отношении:

$\vec{AF} = \frac{7\vec{AD} + 1\vec{AB}}{7+1} = \frac{7\vec{d} + \vec{b}}{8} = \frac{1}{8}\vec{b} + \frac{7}{8}\vec{d}$.

Теперь сравним полученные выражения для векторов $\vec{AE}$ и $\vec{AF}$:

$\vec{AE} = \frac{1}{7}\vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AF} = \frac{1}{8}\vec{b} + \frac{7}{8}\vec{d}$

Проверим, существует ли число $k$, для которого $\vec{AE} = k \cdot \vec{AF}$.

$\frac{1}{7}\vec{b} + \vec{d} = k \left(\frac{1}{8}\vec{b} + \frac{7}{8}\vec{d}\right) = \frac{k}{8}\vec{b} + \frac{7k}{8}\vec{d}$

Векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ не коллинеарны, так как они представляют смежные стороны параллелограмма. Поэтому равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при $\vec{b}$ и $\vec{d}$ в левой и правой частях равны:

$\begin{cases} \frac{1}{7} = \frac{k}{8} \\ 1 = \frac{7k}{8} \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим $k = \frac{8}{7}$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: $1 = \frac{7 \cdot (8/7)}{8} = \frac{8}{8} = 1$. Равенство выполняется.

Таким образом, мы нашли такое число $k = \frac{8}{7}$, что $\vec{AE} = \frac{8}{7}\vec{AF}$. Это доказывает, что векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AF}$ коллинеарны. Так как эти векторы имеют общее начало (точку A), то точки A, F и E лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано, что точки A, F и E лежат на одной прямой.