Номер 17, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Скалярное произведение векторов

1. Даны векторы $ \vec{a}(8; y) $ и $ \vec{c}(-6; 3) $. При каких значениях y угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{c} $:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

2. Даны векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, $ |\vec{a}| = 4 $, $ |\vec{b}| = 5 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ $. Найдите $ |\vec{a} + 3\vec{b}|. $

3. На стороне CD квадрата ABCD отметили точку K так, что $ DK : KC = 3 : 1 $. Найдите косинус угла между прямыми $ AK $ и $ BD $.

1. Угол между векторами зависит от знака их скалярного произведения. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{c}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{c} = x_1x_2 + y_1y_2$.
В нашем случае $\vec{a}(8; y)$ и $\vec{c}(-6; 3)$, поэтому их скалярное произведение равно:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 8 \cdot (-6) + y \cdot 3 = -48 + 3y$.
Теперь рассмотрим каждый случай:

1) острый;
Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно.
$\vec{a} \cdot \vec{c} > 0$
$-48 + 3y > 0$
$3y > 48$
$y > 16$
Ответ: при $y > 16$.

2) прямой;
Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю (векторы ортогональны).
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$
$-48 + 3y = 0$
$3y = 48$
$y = 16$
Ответ: при $y = 16$.

3) тупой?
Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно.
$\vec{a} \cdot \vec{c} < 0$
$-48 + 3y < 0$
$3y < 48$
$y < 16$
Ответ: при $y < 16$.

2. Квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Воспользуемся этим свойством для вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$.
$|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot 3\vec{b} + 3\vec{b} \cdot \vec{a} + 3\vec{b} \cdot 3\vec{b}$
$= |\vec{a}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.
Теперь подставим все известные значения в выражение для квадрата модуля:
$|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = 4^2 + 6(10\sqrt{3}) + 9 \cdot 5^2 = 16 + 60\sqrt{3} + 9 \cdot 25 = 16 + 60\sqrt{3} + 225 = 241 + 60\sqrt{3}$.
Тогда модуль вектора равен квадратному корню из этого выражения:
$|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{241 + 60\sqrt{3}}$.
Ответ: $|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{241 + 60\sqrt{3}}$.

3. Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина A квадрата находится в начале координат $A(0; 0)$. Пусть сторона квадрата имеет длину $4a$, чтобы избежать дробей при вычислении координат точки K. Тогда вершины квадрата будут иметь координаты:
$A(0; 0)$, $B(4a; 0)$, $C(4a; 4a)$, $D(0; 4a)$.
Точка K лежит на стороне CD, и $DK : KC = 3 : 1$. Это означает, что длина отрезка $DK$ составляет $\frac{3}{4}$ длины стороны $CD$.
Вектор $\vec{DC} = C - D = (4a - 0; 4a - 4a) = (4a; 0)$.
Тогда вектор $\vec{DK} = \frac{3}{4}\vec{DC} = \frac{3}{4}(4a; 0) = (3a; 0)$.
Координаты точки K равны сумме координат точки D и вектора $\vec{DK}$:
$K = D + \vec{DK} = (0; 4a) + (3a; 0) = (3a; 4a)$.
Теперь найдем векторы, соответствующие прямым AK и BD:
$\vec{AK} = K - A = (3a - 0; 4a - 0) = (3a; 4a)$.
$\vec{BD} = D - B = (0 - 4a; 4a - 0) = (-4a; 4a)$.
Косинус угла $\theta$ между векторами находится по формуле:
$\cos \theta = \frac{\vec{AK} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AK}| \cdot |\vec{BD}|}$.
Найдем скалярное произведение:
$\vec{AK} \cdot \vec{BD} = (3a) \cdot (-4a) + (4a) \cdot (4a) = -12a^2 + 16a^2 = 4a^2$.
Найдем модули векторов:
$|\vec{AK}| = \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a$.
$|\vec{BD}| = \sqrt{(-4a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{16a^2 + 16a^2} = \sqrt{32a^2} = 4a\sqrt{2}$.
Подставим найденные значения в формулу для косинуса:
$\cos \theta = \frac{4a^2}{5a \cdot 4a\sqrt{2}} = \frac{4a^2}{20a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\cos \theta = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.
Так как скалярное произведение положительно, угол между векторами острый, и его косинус совпадает с косинусом угла между прямыми.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$.