Номер 18, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Преобразование (отображение) фигур

1. Точки $M, P$ и $K$ — середины сторон $AB, BC$ и $CA$ треугольника $ABC$. Преобразование $f$ треугольника $ABC$ таково, что $f(M) = P, f(P) = K, f(K) = M$, а для любой точки $X$ треугольника $ABC$, отличной от точек $M, P$ и $K$, выполняется равенство $f(X) = X$. Является ли преобразование $f$ тождественным?

2. Опишите какое-нибудь преобразование фигуры, состоящей из всех точек сторон остроугольного треугольника, при котором её образом является окружность, описанная около данного треугольника.

3. Каждой точке графика функции $y = -x^2$ ставится в соответствие её проекция на:

1) ось абсцисс;

2) ось ординат.

Является ли данное преобразование обратимым?

1.

Тождественным называется преобразование $E$, которое каждую точку фигуры переводит в себя, то есть для любой точки $X$ фигуры выполняется равенство $E(X) = X$. В условии задачи дано преобразование $f$, для которого существуют точки, не переходящие в себя. Например, точка $M$ (середина стороны $AB$) переходит в точку $P$ (середина стороны $BC$). Так как треугольник $ABC$ не является вырожденным, точки $M$ и $P$ не совпадают, следовательно $f(M) = P \neq M$. Поскольку существует хотя бы одна точка, для которой $f(X) \neq X$, данное преобразование не является тождественным.
Ответ: Нет, данное преобразование не является тождественным.

2.

Фигура, о которой идет речь, — это контур (периметр) остроугольного треугольника. Образом этой фигуры должна стать окружность, описанная около этого треугольника. Опишем одно из возможных преобразований.
1. Найдём центр $O$ описанной окружности данного треугольника $ABC$. Так как треугольник является остроугольным, его центр описанной окружности лежит внутри треугольника.
2. Для любой точки $X$, принадлежащей сторонам треугольника, проведём луч, выходящий из центра $O$ и проходящий через точку $X$.
3. Образом точки $X$ (обозначим его $f(X)$) будет точка пересечения луча $OX$ с описанной окружностью.
Это преобразование называется центральной проекцией из центра описанной окружности на саму окружность. Каждая точка контура треугольника однозначно отобразится на некоторую точку окружности, и при этом образом всего контура будет вся описанная окружность.
Ответ: Преобразование, которое ставит в соответствие каждой точке $X$ на стороне треугольника точку пересечения луча $OX$ с описанной окружностью, где $O$ — центр этой окружности.

3.

Преобразование называется обратимым, если разным точкам исходной фигуры соответствуют разные точки образа. Иными словами, если для любых двух различных точек $A$ и $B$ их образы $f(A)$ и $f(B)$ также различны.

1) ось абсцисс
Каждая точка графика функции $y = -x^2$ имеет координаты $(x_0, -x_0^2)$. Её проекцией на ось абсцисс является точка с координатами $(x_0, 0)$. Разным точкам на параболе $(x_1, -x_1^2)$ и $(x_2, -x_2^2)$ соответствуют разные абсциссы $x_1$ и $x_2$ (если $x_1 \neq x_2$). Следовательно, их проекции на ось абсцисс, точки $(x_1, 0)$ и $(x_2, 0)$, также будут разными. Таким образом, каждой точке на оси абсцисс (которая является образом) соответствует ровно одна точка на графике функции. Значит, преобразование обратимо.
Ответ: Да, данное преобразование является обратимым.

2) ось ординат
Каждая точка графика функции $y = -x^2$ имеет координаты $(x_0, -x_0^2)$. Её проекцией на ось ординат является точка с координатами $(0, -x_0^2)$. Рассмотрим две различные точки на параболе, симметричные относительно оси ординат, например, $A(2, -4)$ и $B(-2, -4)$. Проекцией точки $A(2, -4)$ на ось ординат будет точка $C(0, -4)$. Проекцией точки $B(-2, -4)$ на ось ординат будет та же самая точка $C(0, -4)$. Поскольку двум разным точкам исходной фигуры $A$ и $B$ соответствует одна и та же точка $C$ в образе, преобразование не является обратимым.
Ответ: Нет, данное преобразование не является обратимым.