Номер 25, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 25

Цилиндр. Конус. Шар

1. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота — 3 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра и его объём.

2. Радиус основания конуса равен 5 см, а высота — 12 см. Найдите объём конуса и площадь его боковой поверхности.

3. Площадь поверхности шара увеличили в 9 раз. Во сколько раз увеличился его объём?

1.

Дано: радиус основания цилиндра $R = 6$ см, высота $H = 3$ см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 H$

Подставляем значения:

$V = \pi \cdot 6^2 \cdot 3 = \pi \cdot 36 \cdot 3 = 108\pi$ (см³)

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и двух площадей основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь основания (круга):

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$ (см²)

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi \cdot 6 \cdot 3 = 36\pi$ (см²)

Площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 36\pi + 2 \cdot 36\pi = 36\pi + 72\pi = 108\pi$ (см²)

Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна $108\pi$ см², объём равен $108\pi$ см³.

2.

Дано: радиус основания конуса $R = 5$ см, высота $H = 12$ см.

Объём конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Подставляем значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ (см³)

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi R l$, где $l$ — длина образующей.

Образующую $l$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $l$ (которая является гипотенузой):

$l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ (см)

Теперь находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$ (см²)

Ответ: объём конуса равен $100\pi$ см³, площадь боковой поверхности равна $65\pi$ см².

3.

Площадь поверхности шара ($S$) и его объём ($V$) выражаются через радиус ($R$) следующими формулами:

$S = 4\pi R^2$

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Пусть $S_1$ и $R_1$ — начальные площадь поверхности и радиус шара, а $S_2$ и $R_2$ — конечные.

По условию, площадь поверхности увеличилась в 9 раз, то есть:

$S_2 = 9 S_1$

Подставим формулы для площади поверхности:

$4\pi R_2^2 = 9 \cdot (4\pi R_1^2)$

Сократим $4\pi$:

$R_2^2 = 9 R_1^2$

Извлечем квадратный корень:

$R_2 = 3 R_1$

Это означает, что радиус шара увеличился в 3 раза.

Теперь найдем, во сколько раз увеличился объём. Сравним конечный объём $V_2$ с начальным $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_2^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = (\frac{R_2}{R_1})^3$

Так как мы выяснили, что $R_2 = 3 R_1$, то $\frac{R_2}{R_1} = 3$. Подставим это значение в отношение объёмов:

$\frac{V_2}{V_1} = 3^3 = 27$

Таким образом, объём шара увеличился в 27 раз.

Ответ: объём увеличился в 27 раз.